Интегрирование простых дробей

К простым дробям относятся

(I) ; (II) ; (III) ; (IV)

где - действительные числа, . Кроме того, трехчлен не имеет действительных корней, т.е.

Интегрирование (I) и (II) не представляет трудностей:

Для интегрирования дроби (III) применим метод замены переменной. Выделяя сначала из знаменателя полный квадрат

и прибегнув к подстановке

и обозначив

получаем

а сам интеграл

Возвращаясь обратно к переменной , окончательно получаем:

Для случая (IV) подстановка приводит

Первый интеграл вычисляется подстановкой , :

Второй интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы

,

где

Приведенное рекуррентное соотношение позволяет найти искомый интеграл для любого натурального индекса .

Так как при

,

то,

и т.д.

Примеры:

2.3.1. Найти интеграл:

■ Интеграл относится ко II типу. Здесь . Применив формулу:

,

получим:

.◄

2.3.2. Найти интеграл:

■ Интеграл относится к IV типу. Здесь .

В знаменателе дроби исходного интеграла выделим неполный квадрат. Тогда:

.

Применим рекуррентную формулу:

.

При ;

При

.

Тогда первоначальный интеграл примет вид:

.◄

2.3.3. Найти интеграл:

■ Воспользовавшись примером 3.2., выделив неполный квадрат в знаменателе подынтегральной дроби и произведя замену, получим:

.

Интеграл относится к (IV) типу. Здесь .

Применив рекуррентную формулу:

,

получим:

.◄

2.3.4. Найти интеграл:

■ Здесь . Применяя рекуррентную формулу

,

получим:

При ;

При .

Тогда искомый интеграл при будет равен:

◄

2.3.5. Найти интеграл:

■ Преобразуем подынтегральное выражение.

.

Сделаем в первом интеграле замену , во втором . Воспользовавшись примером 3.4., получим

,

.

Окончательно,

.◄