Интегрирование методoм замены переменной.

Пункт 1. Пусть требуется вычислить интеграл где - непрерывная функция. Введем вместо х новую переменную z, положив , где - функция, имеющая непрерывную производную , причем такая, для которой существует обратная функция . Тогда для вычисления достаточно вычислить и затем переменную z,заменить через . Справедливо равенство

(1)

Функцию выбирают так, чтобы новая подынтегральная функция была «более простой» для интегрирования.

Пример 1. Найти .

Решение. Полагая , находим .

Тогда по формуле (1)

Пример 2. Найти .

Решение. Чтобы избавиться от корня, положим .

Возводя в квадрат это равенство, найдем х;

, , откуда .

Подставляя полученные равенства в подынтегральное выражение, находим

Пункт 2. При интегрировании иррациональных функций используют замену переменных, которые позволяют свести интегрирование иррациональных функций к интегрированию рациональных функций. Так, для нахождения интегралов вида ,

где R – рациональная функция относительно х и различных дробных степеней х, используется замена переменной вида (в качестве р берется наименьший общий знаменатель всех показателей степени х).

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Применяем подстановку , то , , .

Следовательно,

.

Пункт 3. Интеграл от простейшей квадратичной иррациональности с помощью дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата сводится к одному из двух интегралов .

Пример 1.

Решение.

Пример 2.

Решение.

Пункт 4. Интеграл вида

Вычисляется с помощью следующих преобразований

Применив к первому из полученных интегралов подстановку

получим

Второй же интеграл был рассмотрен в пункте 3.

Пример 3.

Пункт 5.

Рассмотрим интегралы

1) ;

2)

3)

Эти интегралы находятся с помощью следующих подстановок:

для интеграла 1) типа,

для интеграла 2) типа

для интеграла 3) типа.

Пример 1.

Вычислим интеграл с помощью подстановки

, ,