русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

III Интегрирование правильных рациональных дробей


Дата добавления: 2015-09-15; просмотров: 1068; Нарушение авторских прав


Сформулируем (без доказательств) две теоремы алгебры, которые позволяют свести интегрирование правильных дробей к интегрированию простейших.

Теорема 1. Всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить единственным образом на множители двух типов: а) ли-нейные , б) квадратичные , где – действи-тельные числа. Эти множители могут быть простыми, если , и крат-ными, если .

Отметим, что линейные множители соответствуют действительным корням многочлена, а квадратичные – парам комплексных сопряженных корней.

Теорема 2. Всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей; при этом:

a) линейному простому множителю в разложении знаменателя дроби на множители соответствует дробь 1го типа ;

b) линейному кратному множителю соответствует сумма дробей 1го и 2го типов вида

;

c) квадратичному простому множителю соответствует дробь 3го типа ;

d) квадратичному кратному множителю соот-ветствует сумма дробей 3го и 4го типа вида

.

Здесь , , – некоторые действительные числа, часть из которых может быть равна 0. Указанное разложение единственное (с точностью до порядка слагаемых).

Можно предложить следующий алгоритм разложения правильной дроби на простейшие слагаемые:

1) в соответствии с разложением знаменателя дроби на множители выписываем формальное разложение дроби на простейшие слагаемые с неизвестными коэффициентами;

2) приводим выписанную сумму дробей к общему знаменателю;

3) приравниваем числитель дроби, полученной в пункте 2), числителю исходной дроби;

4) равенство (тождественное!) многочленов, полученное в пункте 3) позволит нам найти неизвестные коэффициенты либо методом неопределенных коэффициентов ( т.е. приравнивая коэффициенты, стоящие при равных степенях х) либо методом частных значений (т.е. придавая переменной х конкретные – “ удобные ” – значения ).



Замечание. Метод частных значений особенно удобен в случае прос-тых действительных корней знаменателя разлагаемой дроби. Можно ком-бинировать оба метода определения неизвестных коэффициентов.

Примеры. 1. Разложить на простейшие слагаемые дробь

1й шаг: пишем формальное разложение

2й шаг: приводим сумму дробей к общему знаменателю

3й шаг: приравниваем числители

4й шаг: метод неопределенных коэффициентов дает систему уравнений

Отсюда : Искомое разложение имеет вид

Теперь, если понадобится, легко найти интеграл

2. Вычислить .

Имеем:

Отсюда следует тождество:

Для определения коэффициентов положим в этом тождестве последовательно . Сразу получим: , т.е. , , . Окончательно имеем:

 

3.

Разложение на простейшие дроби здесь достигается путем незамысловатых преобразований:

Искомый интеграл равен

В заключение сформулируем основной результат данного параграфа: интегралы от рациональных функций выражаются в конечном виде с помощью рациональных функций, логарифмов и арктангенсов. Иными словами, всякая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.

В связи с этим интегралы от иррациональных и трансцендентных выражений стараются специально подобранными подстановками рационализировать, т.е. свести к интегралам от рациональных функций. Этим подстановкам и будут посвящены следующие параграфы.



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
II Интегрирование простейших дробей | Выражений


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.005 сек.