Выражений

В предыдущем параграфе мы определили рациональную функцию как отношение двух многочленов. Имеется и другое, равносильное, определение, пригодное для функций любого числа переменных.

Функция , , и т.п. называется рациональной функцией своих аргументов, если над этими аргументами производятся, лишь арифметические операции.

Так запись означаем функцию, в которой над и проводятся только операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Нетрудно заметить, что класс всех рациональных функций замкнут относительно арифметических операций, суперпозиции и операции дифференцирования.

I Интегралы вида

Рационализируются так называемой универсальной тригонометрической подстановкой (УТП) . Тогда, как известно из тригонометрии,

;

аналогично ;

кроме того и .

Таким образом, данный интеграл сводится к интегралу

,

где – некоторая рациональная функция переменной .

Пример 1.

.

Рассмотренная подстановка рационализирует всякий интеграл вида (потому она и называется универсальной). Однако на практике эта подстановка часто приводит к слишком сложным рациональным функциям. Поэтому полезно знать и другие подстановки, которые в некоторых случаях быстрее приводят к цели.

II Интегралы вида

Рационализируется так называемой полууниверсальной тригоно-метрической подстановкой . Действительно, (для аргумента синуса аргумент тангенса является половинным);

, ,

, .

Пример 2.

.

III Интегралы вида и

Подведение под знак дифференциала и соответствующая замена рационализирует эти интегралы.

Пример 3.

IV Интегралы вида

Способ преобразования подынтегрального выражения зависит от четности показателей степени.

IV.1 Хотя бы одно из чисел m,n – нечетное

подстановка рационализирует интеграл. Аналогично и для случая .

Примеры. 4. .

= 5.

= .

IV.2 Оба числа m и n – четные положительные

В этом случае для преобразования подынтегральной функции используют формулы понижения степени:

, .

При этом выражения , сводится к сумме членов вида . Члены, у которых показатель степени p – нечетный, интегрируются по способу, рассмотренному в пункте IV.1. К остальным членам снова применяют формулу понижения степени, переходя к и так далее.

Пример 6.

IV.3 Оба числа m и n – четные, хотя бы одно отрицательное

В этом случае применима полууниверсальная подстановка, хотя возможны и более простые преобразования с использованием основного тригонометрического тождества. Покажем на примерах

Примеры.

7. .

8.

9.

Замечание 1. Для интегралов вида можно получать рекуррентные формулы. Например,

= .

Здесь первый интеграл – это , а ко второму применим интегри-рование по частям, положив , . Тогда

и .

Итак, имеем:

,

.

Отсюда и получаем рекуррентную формулу

, .

Эта формула позволит любой интеграл вида , , свести к табличному :

к , если , или же к , если .

Рекомендуем студентам самим получить рекуррентные формулы для интегралов

, , .

В двух последних не забудьте, что .

Замечание 2. Интегралы вида и т.п., вычисляются с использованием формул преобразования произведений тригономет-рических функций в суммы (разности). Например,

.

V Интегралы вида

Для гиперболических функций имеются разнообразные формулы, аналогичные формулам тригонометрии. Приведем некоторые из них:

1) основное тождество – ;

2) формулы двойных углов – ; ;

3) формулы понижения степени – , .

Пользуясь этими формулами нетрудно рационализировать любой интеграл вида . Однако, на практике иногда проще выразить гиперболические функции через показательную функцию

и рационализировать интеграл подстановкой :

Примеры.

10.

.

11. .