Теорема 3. Если и – непрерывно-дифференци-руемые функции, то справедлива формула
. (4)
Доказательство вытекает из правила дифференцирования произведения: . Проинтегрируем обе части этого равенства и учтем одно из свойств неопределенного интеграла:
,
,
отсюда и следует формула интегрирования по частям (3).
При практическом применении этого метода подынтегральное выражение надо разбить в произведение таким образом, чтобы функция вычислялась просто, а интеграл в правой части (4) был бы проще исходного.
Примеры.
10.
.
.
Замечание 3. Если при вычислении интеграла взять другую первообразную, например , получим тот же результат:
.
Замечание 4. Область применения этого метода в основном исчерпывается интегралами вида , где – многочлен, а – это: 1) показательные, тригонометрические и гипербо-лические функции; 2) логарифмические и обратные тригонометрические функции. При этом в качестве в случае 1) берем многочлен, а в случае 2)– логарифмы и аркфункции. Отметим, что в случае 2) «многочлен» может содержать степени переменной с ненатуральными показателями.
Примеры.
12.
.
13.
.
Мы пришли к уравнению , из которого
получаем
.
14.Для интеграла путем двукратного интегриро-
вания по частям можно получить уравнение
,
из которого находим
.
Аналогичным образом можно найти интегралы
, , .