Интегрирование рациональных функций

Определение 3. Рациональной функцией от переменной х называется отношение двух многочленов от переменной х, т.е.

,

где - вещественные числа.

Определение 4. Если степень меньше степени , то рациональная функция называется правильной, и неправильной в противном случае.

Пример 6. - правильные рациональные функции;

- неправильные рациональные функции.

Теорема 3. Любую неправильную рациональную функцию можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции.

Для получения этого представления можно использовать метод деления “уголком” многочлена на многочлен.

Пример 6.

1) . Рассмотрим неправильную рациональную функцию . Выполним делением с остатком числителя на знаменатель:

.

Таким образом, .

2) . Рассмотрим неправильную рациональную функцию . Аналогично выполняем деление:

В итоге получаем, что .

Известно, что любой многочлен с вещественными коэффициентами не нулевой степени можно разложить на множители первой степени и второй степени с вещественными коэффициентами, то есть

, (4)

где - вещественные числа, - натуральные числа и . Последние условия означают, что квадратные трехчлены, участвующие в разложении (4), не имеют вещественных корней.

Теорема 4. Если - правильная рациональная функция, а многочлен представлен в виде (4), то эту функцию можно единственным образом разложить в виде:

Рациональные функции называются простейшими I рода, а - простейшими второго рода.

Пример 7. Приведем несколько примеров разложений правильной дроби на сумму простейших.

1) ;

2) ;

3) .

Для нахождения коэффициентов в разложении (4) можно умножить слева и справа на общий знаменатель и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях.

Пример 8.

1) Найдем разложение на простейшие рациональной функции . По теореме 4 имеем

.

Тогда (умножим слева и справа на ) или . Приравняв коэффициенты перед x и свободные члены, получим систему уравнений:

Следовательно, и и

.

2) Проделаем то же самое для рациональной функции . Имеем

или , т.е. . Из последнего соотношения, (приравнивая коэффициенты при ,) получаем:

Следовательно, и

.

Замечание. Иногда для нахождения коэффициентов A, B, … удобно подставлять конкретные значения х, особенно корни знаменателя. Например, рассмотрим разложение:

или

.

Пусть , тогда и . Возьмем , тогда и .

Подводя промежуточный итог заметим, что раз любую рациональную функцию можно представить в виде суммы многочлена и простейших рациональных функций, то для вычисления интеграла от любой рациональной функции достаточно научиться интегрировать простейшие рациональные функции.