Интегрирование простейших рациональных функций

В соответствии с таблицей неопределенных интегралов получаем, что

и

(интеграл от степенной функции).

Следовательно, осталось только научиться интегрировать простейшие второго рода.

Рассмотрим сначала пример. Вычислим неопределенный интеграл .

1 шаг. Выделим в знаменателе полный квадрат, тогда ;

2 шаг. Сделаем замену переменных , тогда , и ;

3 шаг. Поделим почленно числитель на знаменатель и воспользуемся свойством линейности интеграла. Получаем, что ;

4 шаг. В первом интеграле сделаем замену переменных , тогда , и

.

Таким образом, проделав последовательно перечисленные выше шаги, сможем вычислить неопределенный интеграл от любой простейшей вида . В частности легко показать, что

, где .

Таким образом, получаем следующую схему интегрирования рациональных функций:

1. Если подынтегральная функция является неправильной рациональной функцией, то представляем её в виде многочлена и правильной рациональной функции.

2. Раскладываем знаменатель правильной рациональной функции на множители первой и второй степени согласно теореме 3.

3. Представляем правильную рациональную функцию в виде суммы простейших.

4. Интегрируем по перечисленным выше правилам.

Рассмотрим пример использования данной схемы.

Пример 9. Вычислим интеграл .

Решение.

1) Подынтегральная функция является неправильной рациональной функцией. Поделим числитель на знаменатель с остатком

Следовательно, .

2) Разложим знаменатель на множители . Дискриминант последнего сомножителя меньше нуля.

3) Представим рациональную функцию в виде суммы простейших

.

Тогда и

Следовательно, .

Таким образом, .

4) Вычислим последний интеграл отдельно, выполняя последовательно перечисленные выше шаги.

.

Окончательно получаем, что

.

Варианты для самостоятельной работы.

Вычислить данные интегралы. В первых 2 примерах проверить результата дифференцированием.

1. , , , , , .

2. , , , , , .

3. , , , , , .

4. , , , , , .

5. , , , , , .

6. , , , , , .

7. , , , , , .

8. , , , , ,

9. , , , , , .

10. , , , , , .

11. , , , , , .

12. , , , , , .

13. , , , , , .

14. , , , , , .

15. , , , , , .

16. , , , , , .

17. , , , , ,

18. , , , , , .

19. , , , , , .

20. , , , , , .

21. , , , , , .

22. , , , , , .

23. , , , , , .

24. , , , , , .

25. , , , , , .

26. , , , , ,

27. , , , , , .

28. , , , , , .

29. , , , , , .

30. , , , , , .

31. , , , , , .

32. , , , , , .

33. , , , , , .

34. , , , , , .

35. , , , , ,

36. , , , , , .

37. , , , , , .

38. , , , , , .

39. , , , , , .

40. , , , , , .

41. , , , , , .

42. , , , , , .

43. , , , , , .

44. , , , , ,

45. , , , , , .