Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Теорема 1. Если и - функция, дифференцируема на рассматриваемом промежутке, то

(2)

Следствие. Если - первообразная для функции , то

,

где и - числа, .

Формула (2) позволяет упростить искомый интеграл, а в отдельных случаях свести его к табличному.

Рассмотрим несколько примеров вычисления интегралов по теореме 1.

Пример 4.

1) Пусть . Положим . Тогда и . В итоге получаем, что

.

2) Найдем интеграл . Пусть , тогда и (формула № 2) .

3) Найдем интеграл . В этом случае воспользуемся следствием из теоремы 1, так как , а , то по следствию из теоремы 1 ( ).

Замечание. В примерах 4.1 и 4.2 также можно было воспользоваться следствием из теоремы 1.

4) Приведем еще несколько примеров использования следствия. Несложно убедиться, что

;

;

.

Проверим два последних результата дифференцированием. По теореме о производной сложной функции имеем:

;

.

В обоих случаях после дифференцирования получили подынтегральную функцию.

5) Вычислим интеграл . Пусть , тогда и .

Иногда удобнее сразу искать , а не , как это будет показано в следующих примерах.

6) Найти интеграл . Положим , тогда , полученное равенство позволяет выразить , последнее является сомножителем подынтегрального выражения. В итоге получаем, что .

7) Рассмотрим интеграл . Если , то и .

8) Вычислим интеграл . Пусть , тогда и .

Замечания.

1) Новую переменную можно не выписывать явно. Например, интеграл можно записать как , или интеграл .

При таком подходе говорят о введении (внесении) функции под знак дифференциала.

2) Часто при вычислении одного и того же интеграла можно применять несколько замен. Например, при вычислении интеграла можно сделать замену или .

3) Существуют функции, первообразные которых нельзя выразить через элементарные функции. Интегралы от таких функций называются “неберущимися” в элементарных функциях. Например, , и т.д.