Определение 1. Функция называется первообразной для функции на множестве , если для всех из .
Пример 1.
1) первообразная для , так как . Аналогично, также первообразная для , потому что .
2) первообразная для , так как .
Свойства первообразных.
1. Если - первообразная для , то также первообразная для .
2. Если и - две первообразные для функции , то существует константа такая, что
.
Свойства 1 и 2 можно объединить в одно следующим образом.
3. Множество всех первообразных функции имеет вид: , где , а - произвольное число.
Определение 2. Неопределенным интегралом от функции называется множество всех первообразных функции .
Неопределенный интеграл обозначается , где - знак интеграла, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение.
Таким образом,
, (1)
где - некоторая первообразная для , - произвольная постоянная.
Пример 2. По определению 2 и примеру 1 имеем: .
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.