Интегрирование иррациональных функций

П. 1. Квадратичные иррациональности.

Это интегралы типа , , , , где - многочлен степени . Для нахождения первых трех типов неопределенных интегралов следует под радикалом виделить полный квадрат и положить . Тогда получим табличные интегралы.

Примеры. 1)

●. Þ

, , , Þ

■.

2)

●. Þ

, , Þ

Для нахождения интеграла , , используется формула

, (2)

где - многочлен степени с неопределенными коэффициентами и l - неопределенный коэффициент. Дифференцируя обе части равенства (2), получим тождество

,

из которого, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной x, находим все неопределенные коэффициенты в (2).

Пример. Найти

●. По формуле (2) имеем

.

Дифференцируя это равенство, получим:

, т.е.

или

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем

.

Следовательно, , , , и потому

.

П. 2. Дробно-линейная подстановка

Интегралы типа , где , а , сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки , где .

Пример. 1) .

●. Здесь , , и . Поэтому

, , , Þ

2)

.

П. 3. Квадратичные иррациональности. Подстановки Эйлера

Интегралы типа сводятся к интегралам от рациональных выражений с помощью подстановок Эйлера:

1. если а > 0, то ;

2. если с > 0, то или полагая сведем к случаю 1, когда а > 0;

3. если , где , то .

Примеры. 1)

> 0 Þ или , , т.е.

.

.

2) , > 0 Þ ; ,

, , Þ

3)

Здесь и t > 0, так как -а < x < а. Имеем

, , , Þ

куда нужно подставить .

П. 4. Интегрирование дифференциального бинома

То есть когда , где . Интегралы типа берутся в конечном виде, т.е. выражаются через элементарные функции, только в трех случаях, как показал Чебышев П.А.: когда хотя бы одно из чисел p, , . Тогда применяются соответственно три подстановки Чебышева П.А.:

1. если , то , где знаменателей дробей m и n;

2. если , то , где s - знаменатель дроби p;

3. если , то , где s - знаменатель дроби p.

Примеры. 1) .

●.Здесь Þ . Поэтому , .

2) .

●. Здесь , но Þ

, , , . Таким образом,

.

3) .

●. , , но Þ , т.е. , , .