Интегрирование некоторых иррациональных функций

Определение. Многочленом от двух переменных назовем выражение .

Пример. - многочлен от двух переменных.

Определение. Дробно-рациональной функцией двух переменных называется функция, которая представима в виде частного двух многочленов от двух переменных

.

Свойства дробно-рациональных функций двух переменных:

1. Сумма, разность, произведение, частное двух дробно-рациональных функций есть дробно-рациональная функция.

2. Композиция дробно-рациональных функций есть дробно-рациональная функция.

1. Интегрирование функций, содержащих .

Теорема. Пусть - дробно-рациональная функция своих переменных. Если в сделать замену переменных , то рассматриваемых интеграл сведется к интегралу от дробно-рациональной функции.

Пример. Вычислить интегралы.

1.

т.к. дробь неправильная, выделим целую часть:

разложим полученную правильную дробь на простейшие:

если , то ; если , то , следовательно, получаем: .

2.

.

Замечание. Если интегрируемая функция содержит несколько корней

, , … от одной и той же дроби, то все эти корни можно выразить через один корень от той же дроби с показателем , а затем применить теорему.

Пример. Вычислить интеграл.

.

2. Интегралы, содержащие .

Теорема. Пусть - дробно-рациональная функция своих переменных, тогда интеграл соответствующей подстановкой может быть сведен к интегралу от дробно-рациональной функции. Эти подстановки следующие (их называют подстановками Эйлера):

1. ;

2. ;

3. или .

Замечание. Подстановки всегда приводят к цели в теории. На практике их почти не используют, т.к. они приводят к большим вычислениям.

Пример. Вычислить интегралы.

1.

разложим правильную дробь на простейшие

если , то ; если , то , следовательно, получаем:

.

2.

.

3. Некоторые интегралы, берущиеся без подстановок.

A. .

Выпишем подкоренное выражение и выделим полный квадрат.

.

Обозначим , тогда . Подставим в интеграл и получим:

.

Если , то это табличный интеграл, ответом будет логарифм.

Если , то , тогда последний интеграл можно преобразовать к виду . Полученный интеграл является табличным, ответом будет арксинус.

Пример.

.

B. .

Проведя аналогичные пункту A рассуждения и обозначив

,

получим, что

Последний интеграл является табличным (доказано в предыдущем пункте).

Пример.

.

C. .

Рассмотрим обратную подстановку , тогда

.

,

где выражаются через . Полученный интеграл, как уже было доказано, сводится к табличным.

Пример.

.

D. .

С помощью метода интегрирования по частям данный интеграл можно свести к самому себе.

.

Последний интеграл сводится к табличным (это случай B), в итоге получаем

,

где - все слагаемые, которые могут появиться. Следовательно,

.

Пример.

вычислим отдельно последний интеграл:

;

.

В итоге получилось уравнение относительно данного интеграла, из которого получаем:

.

4. Интегралы от дифференциальных биномов.

.

Дифференциальным биномом или биномиальным дифференциалом называется выражение вида .

Теорема. Интегралы , сводятся к интегралам от дробно-рациональных функций только в трех случаях:

1. . Подстановка наименьшее общее кратное знаменателей дробей, изображающих и .

2. . Подстановка знаменатель дроби, изображающей .

3. . Подстановка знаменатель дроби, изображающей .

Примеры.

1)

.

2)

.

3)

.