Необходимые сведения о многочленах и дробно-рациональных функциях

Определение. Многочленом степени называется функция

.

Определение. Если для какого-то , то называется корнем многочлена .

Определение. Если - корень многочлена и если справедливо равенство , то называется кратностью корня, а называется - кратным корнем многочлена.

Теорема. Если произвольный многочлен с комплексной переменной, то у него существует комплексных корней.

Поэтому многочлен представляется в виде

,

т.к. среди корней могут быть одинаковые, то с учетом кратности корней, многочлен может быть записан следующим образом:

.

Пусть . По теореме многочлен может иметь действительные и комплексные корни. Известно, что если многочлен имеет корнем комплексное число , то сопряженное число тоже является корнем многочлена, причем кратность сопряженных корней одинакова.

Пусть кратность корня равна , тогда в разложении многочлена на сомножители будет участвовать выражение

.

С учетом всего выше сказанного многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в виде следующего произведения:

где

.

Определение. Дробно-рациональной функцией называется частное двух многочленов.

.

Если , то функция называется правильной, если , то функция называется неправильной.

Теорема. Любую неправильную функцию можно представить в виде суммы многочлена и правильной функции.

.

Четыре типа простейших правильных дробей.

1. .

2. .

3. .

4. .

Теорема. Любую правильную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших правильных дробей.

1. Если в правильной дроби знаменатель имеет простой (однократный) корень , то в разложении дроби на простейшие будет участвовать одна дробь первого типа .

2. Если в правильной дроби знаменатель имеет -кратный корень , то в разложении дроби на простейшие будет участвовать дробей первого и второго типов: + + + .

3. Если в разложении многочлена на сомножители участвует простой (однократный) сомножитель , где , то в разложении дроби на простейшие будет участвовать одна дробь третьего типа .

4. Если в разложении многочлена на сомножители участвует -кратный сомножитель , где , то в разложении дроби на простейшие будет участвовать дробей третьего и четвертого типов: + + +…+ .

Пример. Разложить дробь на простейшие.

1) Данная дробь является неправильной, поэтому сначала выделим целую часть.

Т.о., получили:

.

2) Разложим знаменатель правильной дроби на сомножители. Методом подбора несложно заметить, что одним из корней является 1. Поэтому разделим знаменатель на .

0 Т.о., .

Аналогично находим, что второй сомножитель имеет корень, равный –1.

Разделив его на , получим, что . Тогда

, причем дискриминант последнего сомножителя отрицателен.

3) По теореме о разложении правильной дроби на простейшие запишем общий вид разложения дроби:

.

Осталось найти коэффициенты. Для этого в правой части равенства приведем дроби к общему знаменателю

.

Дроби равны, знаменатели равны, следовательно, равны и числители

.

Для нахождения коэффициентов существует несколько способов.

1-й способ. Сравниваются коэффициенты при одинаковых степенях (по определению равенства двух многочленов).

,

следовательно, получаем систему:

2-й способ. Берутся конкретные значения (наиболее удобные для вычисления) и составляются уравнения.

.

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

3-й способ. Комбинированный: часть коэффициентов находится первым способом, часть вторым.

Т.о., .

В итоге получаем, что

.