Неопределенный интеграл

Определение. Пусть у функции на промежутке существует первообразная функция , тогда множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом для функции и обозначается

. (1)

При этом называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, а символ - знаком неопределенного интеграла.

Пример. .

Свойства неопределенного интеграла.

1. Если на промежутке у функции существует производная , то (2)

или . (2´)

2. Пусть у функции на промежутке существует первообразная функция, тогда на этом промежутке

(3)

или . (3´)

3. Пусть у функций и на промежутке существуют первообразные функции, тогда на этом промежутке интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций

. (4)

4. Пусть у функции на промежутке существует первообразная функция, пусть , тогда на этом промежутке постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

. (5)

Таблица неопределенных интегралов.

Таблица основных интегралов получается из основных формул дифференциального исчисления путем прямого их обращения.

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. .

Пример. Вычислить интеграл.

по равенству (4) для неопределенных интегралов получаем

=

постоянный множитель можно выносить за знак интеграла (5)

=

по таблице неопределенных интегралов получаем

= .

3.Общие методы интегрирования

1. Метод подведения под знак дифференциала.

Пусть есть табличный табличный интеграл

. (6)

По определению это означает, что , тогда или т.к. получаем

. (7)

Ввиду инвариантности формы дифференциала последнее равенство не зависит от того, является ли x аргументом или функцией. Поэтому если есть табличный интеграл, то будут верны равенства

(6´)

и . (7´)

Примеры. Вычислить интегралы.

1) .

2)

.

3)

= .

4)

.

2. Метод замены переменной.

Пусть дифференцируемая функция преобразует промежуток в промежуток . Если у функции на промежутке существует первообразная , то

. (8)

Примеры. Вычислить интегралы.

1) ,

2)

,

3) ,

4)

,

5) =

,

6)

=

.

Замечание 1. Метод подведения под знак дифференциала является частным случаем метода замены переменных и применяется для несложных интегралов.

Замечание 2. Пусть есть табличный интеграл . Рассмотрим . Обозначим , тогда , следовательно, получаем

.

Т.о., если - первообразная функция для , то - первообразная для .

3. Интегрирование по частям.

Пусть на промежутке заданы дифференцируемые функции и пусть на у функции существует первообразная, тогда на этом промежутке у функции тоже существует первообразная и справедлива формула интегрирования по частям

. (9)

Часто данную формулу записывают короче

. (9´)

Примеры. Вычислить данные интегралы методом интегрирования по частям.

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

В результате двукратного применения метода интегрирования по частям мы получили уравнение относительно данного интеграла. Обозначим

, тогда уравнение примет вид:

,

и выразим из него .

Замечание 1. Метод интегрирования по частям обычно применяют к интегралам вида:

1. , , , где - многочлен,

который обозначают за ;

2. , , , где - многочлен,

который обозначают за ;

3. , , которые после двукратного применения

метода сводятся сами к себе.

Замечание 2. При использовании метода интегрирования по частям нужно руководствоваться следующими правилами:

1. интегрирование по частям применяется обычно в случае, если под знаком интеграла стоит произведение двух функций. При этом за функцию целесообразно ту функцию, которая упрощается при дифференцировании, а за выбирают выражение, которое легко интегрируется. В результате такого выбора интеграл должен получиться проще исходного;

2. формулу интегрирования по частям можно применять несколько раз подряд;

3. формула интегрирования по частям применяется и в том случае, когда под знаком интеграла находится одна функция (чаще трансцендентная). При этом за принимается эта функция, а полагается равным .