Интегрирование тригонометрических функций

5.1. Интегралы вида .

Рассмотрим случай, когда под интегралом стоит рациональная функция от аргументов и , то есть интеграл вида . Его можно свести к интегралу от рациональной функции в следующих случаях.

1) Универсальная подстановка подходит всегда, но часто приводит к громоздким выражениям, поэтому пользоваться ею не всегда целесообразно.

Основана универсальная подстановка на известных тригонометрических формулах

; .

Обозначая через новую переменную , получаем рациональное выражение для подынтегральной функции

; ; .

Таким образом, исходный интеграл является интегралом от рациональной функции

.

2) В случае, если при подстановке в функцию выражения вместо общий знак функции меняется, то есть , то подходит замена переменной .

3) В случае, если при подстановке в функцию выражения вместо общий знак функции меняется, то есть , то подходит замена .

4) В случае, если , то подходит замена

или .

Пример 1.Вычислить интеграл .

Данный пример можно решить несколькими способами.

1) Сделаем универсальную подстановку , тогда

; ; .

Получим следующий интеграл

Возвращаясь к первоначальной переменной, получаем

2) Подставим в функцию вместо выражения выражение , получим .

Знак функции поменялся, значит можно сделать замену , , . Подставив эти выражения в исходный интеграл, получим интеграл от рациональной функции

В этом интеграле можно сделать еще одну замену переменной

Тогда получаем

.

Возвращаясь к исходной переменной , имеем

.

3) Подставим в функцию вместо выражения выражение , получим .

Знак функции поменялся, значит можно сделать замену

, , . Подставив эти выражения в исходный интеграл, получим интеграл от рациональной функции

.

4) Подставим в функцию вместо выражений и выражения и , получим

.

Знак функции не поменялся, значит можно сделать замену , . Перепишем интеграл в виде, удобном для данной подстановки

Конечно, не в каждом примере получится использовать все четыре указанных подстановки. Некоторые примеры можно только с помощью одной из подстановок свести к интегралу от рациональной функции. Иногда это вообще невозможно сделать.