Интегрирование дифференциального бинома.

Дифференциальный бином или биномиальный дифференциал, это интеграл вида , где

Пафнутий Львович Чебышев доказал, что он сводится к интегралу от рациональной функции в трёх случаях.

1 случай. Число p является целым . В этом случае делаем замену

где – наименьший общий знаменатель дробей m и n.

2 случай. , . Замена , где – знаменатель дроби p.

3 случай. , . Замена , где – знаменатель дроби p.

Доказательство.

1 случай. Приведём дроби и к общему знаменателю =НОК .

Тогда . В этом случае интеграл рационализируется заменой .

Переходя к новой переменной, получаем интеграл от рациональной функции .

2 случай. Число p не является целым. Представим его в виде несократимой дроби .

Сначала сделаем в интеграле замену

В результате получаем интеграл

.

Если , то интеграл приводится к интегралу от рациональной функции заменой , где - знаменатель дроби p.

В этом случае получаем интеграл от рациональной функции , где .

3 случай. Как и во втором случае с помощью замены , сначала получаем интеграл

Преобразовав выражение ,

приводим интеграл к виду .

Если и – знаменатель дроби p, то замена

позволяет получить интеграл от рациональной функции

, где .

Пример 7. Вычислить интеграл .

Запишем интеграл в виде дифференциального бинома

.

В данном случае число не является целым. Значит, первый случай

не подходит. Числа ; проверяем, подходит ли второй случай.

Число также не является целым, поэтому второй случай тоже

не подходит. Число является целым, значит подходит третий случай для подстановок Чебышева. В этом случае интеграл рационализируется заменой

Подставляя эти выражения в исходный интеграл, получаем интеграл от рациональной функции

. Как его вычислять, описано ранее.