Подстановки Эйлера.

Подстановки Эйлера используются для вычисления интеграла вида

Он рационализируется в трёх случаях.

1 случай: a > 0.

В этом случае делаем замену = , где перед слагаемыми и могут стоять произвольные знаки плюс или минус. Возводим обе части последнего равенства в квадрат и выражаем старую переменную через новую переменную:

Затем находим значение корня и дифференциала через новую переменную

Подставляя все в исходный интеграл, получаем интеграл от рациональной функции

.

2 случай: c > 0.

В этом случае делаем замену .

Возводим обе части последнего равенства в квадрат и выражаем старую переменную через новую переменную:

Затем находим значение корня и дифференциала через новую переменную

Подставляя все в исходный интеграл, получаем интеграл от рациональной функции.

3 случай: .

Уравнение имеет два различных действительных корня

и _.

В этом случае делаем замену = .

Возводим обе части последнего равенства в квадрат и выражаем старую переменную через новую переменную:

Затем выражаем через новую переменную значение корня и дифференциала

Подставляем эти выражения в исходный интеграл и вычисляем интеграл от рациональной функции.

Пример 4.

Вывести формулу для вычисления табличного интеграла .

Коэффициент при положительный, значит подходит первый случай.

Сделаем замену . Возведем в квадрат и выразим старую переменную через новую переменную

Затем выражаем через новую переменную значение корня и дифференциала

Подставив эти выражения под интеграл, получим табличный интеграл

Пример 5.Вычислить интеграл .

В данном примере подходит и первый и второй случаи. Применим вторую подстановку Эйлера, сделаем замену .

Возведем в квадрат , затем поделим на , получим

. Отсюда выражаем старую переменную, затем корень и дифференциал через новую переменную.

Подставим полученные выражения в исходный интеграл, получим интеграл от рациональной функции

Подынтегральная дробь является правильной, её нужно представить в виде суммы простейших дробей , затем проинтегрировать эти дроби.