Сделаем замену . Покажем, что эта замена рационализирует интеграл.
Выразим подынтегральную функцию через новую переменную. Для этого
и нужно выразить через :
Подставим эти выражения в исходный интеграл:
.
В итоге получаем интеграл от рациональной функции, вычисление которого подробно рассмотрено ранее.
Пример 1.Вычислить интеграл .
Сделаем замену переменной . Выразим подынтегральную функцию через новую переменную. Возведем последнее равенство в третью степень
, отсюда старая переменная выражается через новую переменную рациональной функцией . Находим дифференциал и подставляем в первоначальный интеграл. Получаем интеграл от рациональной функции = .
Подынтегральная дробь является правильной. Её нужно представить в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами
.
Затем надо найти неопределенные коэффициенты, проинтегрировать простейшие дроби и получить значение исходного интеграла. Для окончательного ответа нужно вернуться к первоначальной переменной, подставив .
Пример 2.Вычислить интеграл .
В этом интеграле два корня из одного и того же выражения, но разных степеней. Нужно за новую переменную обозначить корень, степень которого является наименьшим общим кратным этих двух степеней.
Так как НОК(2,3) = 6, то сделаем замену
Подставив эти выражения в исходный интеграл, получаем интеграл от неправильной рациональной дроби. Представляем ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, которая является простейшей:
Возвращаясь к первоначальной переменной, получаем ответ
Пример 3.Вычислить интеграл .
Этот интеграл можно привести к виду, рассматриваемому в этом пункте.
.
Область определения подынтегральной функции x < 1, x > 2.
Интеграл вычисляем с помощью замены .
Возводя в квадрат, находим
.
Подставив эти выражения в интеграл, получаем при :
Далее нужно подынтегральную дробь разложить на сумму простейших дробей
Затем найти неопределенные коэффициенты и проинтегрировать простейшие дроби.
Если , то получаем тот же интеграл, только с противоположным знаком.