Разложение правильных рациональных дробей на простейшие.

Рациональная функция – это отношение двух многочленов ,

где – многочлен степени n, а – многочлен степени m.

Если n ≥ m, то дробь неправильная; если же n < m, то дробь правильная.

Если дробь неправильная (степень числителя больше или равна степени знаменателя), то, поделив на , можно выделить целую часть,

то есть представить рациональную функцию в виде суммы многочлена и правильной дроби

Среди правильных дробей выделяют особый вид дробей, которые называют простейшими. Простейшие дроби бывают четырех типов:

; ; .

Любую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей. Для этого знаменатель нужно разложить на произведение множителей линейных и квадратных с отрицательным дискриминантом:

.

Исходя из этого разложения, выписываем сумму простых дробей с неопределенными коэффициентами. Каждому множителю в знаменателе

соответствует столько слагаемых, каков показатель степени у этого множителя

;

.

В общем случае разложение правильной дроби на простейшие имеет вид

Пример 1.Записать неправильную дробь в виде суммы многочлена и простейших дробей .

Сначала выделим целую часть, поделив уголком многочлен на многочлен:

.

Затем, знаменатель правильной дроби разложим на множители

и, исходя из полученного разложения, представим правильную дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами

.

Для нахождения неопределенных коэффициентов, домножим обе части

этого равенства на знаменатель дроби , получим тождество

.

Найдем неопределённые коэффициенты A, B, C подстановкой частных значений переменной.

При , отсюда .

При , отсюда .

При получаем , отсюда .

Итак, искомое разложение

.

Пример 2.Представить правильную дробь

в виде суммы простейших дробей.

Так как знаменатель дроби уже разложен на множители, то, исходя из этого разложения, выпишем сумму простейших дробей:

.

Домножив это равенство на общий знаменатель, получим тождество

.

Раскрывая скобки в правой части, получаем

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях в правой и левой частях этого равенства, получаем систему

Решив эту систему, находим искомое разложение

.

Можно было получить этот ответ так же, как в предыдущем примере, подставляя частные значения переменной. В данном случае удобно подставлять корни знаменателя , а также, например, числа

и . Рекомендуется проделать это самостоятельно.

Иногда более рационально получить искомое разложение, не прибегая к описанным двум способам нахождения неопределенных коэффициентов.

В следующем примере это достигается путем добавления и вычитания одной и той же величины к числителю дроби, затем деления почленно.

Пример 3.Представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей.