Основная теорема алгебры (без доказательства).

Пусть многочлен от комплексной переменной степени n, с комплексными коэффициентами. Тогда он имеет ровно n корней и его можно представить в виде

, где

– корень кратности

Лемма 1.Если z₀ – корень кратности k многочлена , то сопряжённое число является корнем кратности k для сопряженного многочлена .

Доказательство. Если z₀ – корень кратности k многочлена , то многочлен можно представить в виде , где .

Возьмём сопряжённое к левой и правой частям последнего равенства

. По свойствам сопряжённых чисел имеем

. В левой части этого равенства стоит значение сопряженного многочлена в точке и оно представимо в виде где Положив в этой формуле , получим . Обозначим ,

тогда , где

Это и означает, что – корень кратности k многочлена .

Лемма 2. Пусть – многочлен с действительными коэффициентами, но от комплексной переменной.

Если корень кратности k многочлена , то также является корнем кратности k многочлена .

Доказательство. По лемме 1 число является корнем кратности k сопряженного многочлена . Поскольку коэффициентымногочлена действительны, то сопряженный многочлен совпадает с самим многочленом и число является корнем кратности k многочлена .

Теорема.Многочлен от действительной переменной с действительными коэффициентами представляется в виде произведения линейных множителей и квадратных с отрицательным дискриминантом:

, где

– действительный корень кратности ; ; .

Доказательство. Рассмотрим многочлен как многочлен от комплексной переменной .

Тогда, по основной теореме алгебры, его можно представить в виде

, где – корень кратности .

Если - действительное число, то скобку не преобразовываем.

Если то , где . По лемме 2, если – корень

кратности для , то также корень кратности для . Сопряженное число запишется как , тогда произведение

можно представить в виде степени, в основании которой лежит квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом

так как .

Таким образом, разложили многочлен в произведение линейных множителей и квадратных с отрицательным дискриминантом. Положив , получим искомое разложение для .