Пусть комплексное число записано в тригонометрической форме .
Запишем его корень также в тригонометрической форме записи
По определению корня имеем .
Возводя в степень по формуле Муавра, получаем
. Отсюда находим модуль корня
и аргумент
; .
Итак, корень степени n из комплексного числа извлекается по формуле
где
Для любого комплексного числа различных корней степени n ровно n штук. Все они расположены на окружности с центром в начале координат
с радиусом и делят эту окружность на n равных частей.
Пример 2.Вычислить .
Запишем число i в тригонометрической форме .
Применим формулу извлечения корня из комплексного числа
при .
Подставляя получаем различные значения корня
Извлечение корня квадратного из комплексного числа
в алгебраической форме записи.
Запишем квадратный корень из числа в алгебраической форме
. Возведем это равенство в квадрат:
Приравнивая действительные и мнимые части, а также, учитывая, что модуль числа равен квадрату модуля его корня, получаем систему
Решая эту систему, находим , откуда
.
Пример 3.Вычислить .
Действительная и комплексная части равны a=3 и b=4. Вычислим по найденной формуле действительную и комплексную части его корня
Итак, .
Многочлены. Разложение на множители.
Рассмотрим многочлен степени n с комплексными коэффициентами от комплексной переменной
, где комплексная переменная;
комплексные числа.
Любой многочлен можно поделить на многочлен с остатком,
то есть представить в виде
где
– делитель, – остаток, – частное.
Определение.Число z0называется корнем многочлена , если =0.
Теорема Безу.Число является корнем многочлена тогда и только тогда, если делится нацело на .
Доказательство.
Необходимость.
Пусть – корень многочлена . Поделим на многочлен
с остатком: , где R – число.
Положим в этом равенстве . Так как – корень, то , следовательно и делится нацело на .
Достаточность.
Пусть делится на без остатка, тогда . Подставляя в это равенство , получаем , следовательно, по определению, является корнем многочлена .
Определение.Число – корень многочлена кратности k , если многочлен можно представить в виде , где не является корнем многочлена , то есть .
Утверждение.Число является корнем кратности k многочлена тогда и только тогда, если является корнем этого многочлена и всех его производных до порядка включительно, то есть а .
Доказательство.
Необходимость. Пусть известно, что , где .
Очевидно, что , то есть является корнем многочлена. Покажем, что является корнем производных многочлена до порядка включительно. Вычислим производную порядка по формуле
Ньютона-Лейбница
При все слагаемые в правой части в точке будут равны нулю, и тогда . Если же , то в точке все слагаемые, кроме последнего, равны нулю. Последнее же слагаемое отлично от нуля в силу условия . Отсюда
Достаточность. Разложим многочлен в точке по формуле Тейлора
Так как первые k слагаемых в правой части обращаются в ноль, то многочлен можно представить в виде