Для любого комплексного числа можно определить его модуль по формуле: .
Геометрический смысл модуля: модуль – это расстояние между началом координат и точкой , соответствующей числу .
Свойства модуля:
1) ;
2) ;
3) – неравенство треугольника;
4) – обратное неравенство треугольника.
Определение. Аргументом комплексного числа называется угол, между положительным направлением оси OX и радиус-вектором числа z.
– главное значение аргумента, этот угол изменяется в промежутке . Он вычисляется по формуле
Произвольный угол, соответствующий данному комплексному числу, принадлежит множеству .
Заметив, что и , и подставив эти выражения
в алгебраическую форму записи комплексного числа, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа
Пример1.Записать комплексное число в тригонометрической форме .
Действительная и мнимая части этого числа равны соответственно
, . Найдем модуль .
Так как мнимая часть отрицательна, то аргумент находится по формуле
Получаем тригонометрическую форму записи:
.
В тригонометрической форме записи удобно выполнять действия : умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.
Чтобы умножить два комплексных числа и
в тригонометрической форме записи, нужно их модули перемножить, а аргументы сложить: .
Доказательство.
Чтобы поделить два комплексных числа и в тригонометрической форме записи, нужно их модули поделить, а аргументы вычесть.
.
.