Рассмотрим множество 
, элементами которого являются пары 
, где 
. Введём в этом множестве арифметические действия.
Действие сложение между элементами 
и 
определяется следующим образом: 
и обладаетсвойствами:
1) ассоциативность 
;
2) существование нулевого элемента 
;
3) существование противоположного элемента 
;
4) коммутативность 
.
Действие умножение между элементами 
и
определяется следующим образом 
и обладаетсвойствами:
1) ассоциативность 
;
2) существование единичного элемента
;
3) существование обратного элемента 
;
4) коммутативность 
.
Имеет место также свойство дистрибутивности
.
Комплексное число можно изображать либо точкой на плоскости, либо вектором. Если ввести для единичных векторов обозначения 
и 
, а также если учесть, что 
, то любое комплексное число можно записать в виде:
- алгебраическая форма записи комплексного числа.
При этом действительное число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z, а действительное число y называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается y = Im z .
Заметим, что 
. Тогда умножение комплексных чисел в алгебраической форме можно производить, просто раскрывая скобки:
Комплексное число 
называется
сопряженным числом к числу 
.
Действие деление между элементами
и 
определяется следующим образом:
Свойства сопряжённых чисел
1) 
;
2) 
;
3) 
.
