Рассмотрим множество , элементами которого являются пары , где . Введём в этом множестве арифметические действия.
Действие сложение между элементами и
определяется следующим образом: и обладаетсвойствами:
1) ассоциативность ;
2) существование нулевого элемента ;
3) существование противоположного элемента ;
4) коммутативность .
Действие умножение между элементами и
определяется следующим образом и обладаетсвойствами:
1) ассоциативность ;
2) существование единичного элемента
;
3) существование обратного элемента ;
4) коммутативность .
Имеет место также свойство дистрибутивности
.
Комплексное число можно изображать либо точкой на плоскости, либо вектором. Если ввести для единичных векторов обозначения и , а также если учесть, что , то любое комплексное число можно записать в виде:
- алгебраическая форма записи комплексного числа.
При этом действительное число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z, а действительное число y называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается y = Im z .
Заметим, что . Тогда умножение комплексных чисел в алгебраической форме можно производить, просто раскрывая скобки:
Комплексное число называется
сопряженным числом к числу .
Действие деление между элементами
и определяется следующим образом:
Свойства сопряжённых чисел
1) ;
2) ;
3) .