Теорема.Пусть функции и – дифференцируемы на промежутке X и найдётся первообразная для функции . Тогда существует первообразная для функции и верна формула:
.
Если учесть формулу для вычисления дифференциала от функции, то получается более краткая и удобная для запоминания запись формулы интегрирования по частям
Доказательство. По правилу вычисления производной произведения имеем
Умножим это равенство на , получаем или .
Проинтегрируем левую и правую части этого равенства
Так как интеграл в правой части формулы существует, то левая часть также определена и выполняется равенство
, что и требовалось доказать.
Метод интегрирования по частям удобно применять в следующих случаях.
1) Подынтегральное выражение содержит в виде множителя функции ,
, , , , . Если в качестве выбрать эти функции, то подынтегральное выражение нового интеграла обычно получается проще.
2) Подынтегральная функция имеет вид , , , где – многочлен относительно переменной x. Если в качестве выбрать , то в новом интеграле подынтегральная функция снова принадлежит одному из указанных типов, но степень многочлена окажется уже на единицу меньше. Выбирая этот многочлен снова в качестве , понижаем степень еще на единицу и т.д.
3) Циклическими называются интегралы, для которых после однократного либо неоднократного интегрирования по частям приходим к точно такому же интегралу. В этом случае получаем алгебраическое уравнение относительно искомого интеграла. Например, к этому типу относятся интегралы , , , . После двукратного интегрирования их по частям получается снова исходный интеграл с некоторым коэффициентом. К данному типу относится и ряд других интегралов.
Пример 1.Вычислить интеграл .
Применим формулу интегрирования по частям. Обозначим через
Подставив эти выражения в формулу интегрирования по частям, получаем
Пример 2.Вычислить интеграл .
Обозначим через
Подставив эти выражения в формулу интегрирования по частям, получим
Проинтегрируем еще раз по частям, обозначив
Отсюда находим окончательный результат
Пример 3.Вычислить интеграл .
Обозначим через
Применив формулу интегрирования по частям, получаем
В числителе подынтегральной дроби добавим и вычтем , затем поделим дробь почленно и запишем интеграл от разности как разность двух интегралов
Мы пришли к такому же интегралу, с которого начали, это циклический интеграл. Получили уравнение относительно искомого интеграла :
Поделив пополам и добавив константу, получаем ответ
Пример 4 (рекуррентная формула). Обозначим через . Покажем, что для вычисления этого интеграла справедлива рекуррентная формула
, где
Доказательство. Проинтегрируем интеграл по частям, обозначив
Подставим в формулу интегрирования по частям
Поделив почленно последнюю подынтегральную дробь, приходим к равенству