Теорема.Пусть X, Y, Z – промежутки, и заданы функции 
, 
. При этих условиях определена композиция 
, 
. Пусть функция 
дифференцируема на промежутке X, и функция 
имеет первообразную 
на промежутке Y. Тогда 
– первообразная для функции 
на промежутке X, то есть справедливы формулы:
– формула замены переменной;
– 
.
Доказательство. По правилу вычисления производной от сложной функции имеем
ЗДЕСЬ
. Это означает, что функция 
является первообразной для функции . Тогда по определению неопределенного интеграла имеем:
и 
.
Так как 
, то формула доказана.
Пример 1.Вычислить интеграл 
.
Воспользуемся приемом внесения под дифференциал.
Так как 
, то
.
Пример 2.Вычислить интеграл 
.
Решим этот пример двумя способами.
1 способ (внесение под дифференциал).
Домножим на 
числитель и знаменатель дроби
.
Применив формулу 
, получаем табличный интеграл.
.
Ответ можно упростить, пользуясь тригонометрическими формулами понижения степени
2 способ (универсальнаяподстановка).
Из курса тригонометрии известны формулы
.
Сделаем замену 
. Тогда
Подставляя эти выражения в первоначальный интеграл, получаем
Пример 3.Вычислить интеграл 
.
Сделаем замену
.
Применяя формулу 
понижения степени, получаем
Вернемся к первоначальной переменной
.
Тогда получаем окончательный ответ
