Свойства неопределённого интеграла

1) .

2) .

3) при .

4) .

Доказательство.

1). .

2). .

3). Пусть – первообразная для функции . Из свойств производной следует, что является первообразной для функции . Тогда

, (1)

. (2)

Так как и – произвольные константы, то – тоже произвольная константа. Поэтому правые, а, значит, и левые части в равенствах (1) и (2) равны.

4). Пусть – первообразная для ; – первообразная для . Тогда – первообразная для . Поэтому выполняются равенства

(3)

. (4)

Так как , , – произвольные константы, то в равенствах (3) и (4) правые, а, значит, и левые части равны. ■

Первые два свойства неопределённого интеграла говорят о том, что дифференцирование и интегрирование – взаимно обратные операции. Третье и четвертое свойства означают, что операция интегрирования линейна. Свойства 1), 3) и 4) используются для вычисления интегралов.

Таблица основных неопределенных интегралов

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

11) .

12) .

13) .

14) .

15) .

16) .

17) .

18) .

Некоторые, наиболее простые интегралы можно вычислять, пользуясь только таблицей и свойствами.

Пример 1.Вычислить интеграл .

В числителе дроби прибавим и вычтем 1, затем, поделив почленно, получим разность двух табличных интегралов:

;

Пример 2.Вычислить интеграл .

Применим тригонометрическую формулу понижения степени: . Затем вынесем постоянный множитель за знак интеграла и получим сумму двух табличных интегралов:

.

Пример 3.Вычислить интеграл .

Числитель подынтегральной дроби, в силу основного тригонометрического тождества, представим в виде: . Затем поделим дробь почленно и получим сумму двух табличных интегралов:

.

Однако, в большинстве случаев для вычисления интегралов необходимы дополнительные методы. Основные из них – это метод замены переменной и метод интегрирования по частям.