Первообразная и неопределенный интеграл

Глава. Интегральное исчисление функций одного переменного

Определение и свойства неопределённого интеграла

Первообразная и неопределенный интеграл

К числу важных задач механики относятся задача о нахождении закона движения материальной точки по ее заданной скорости, а также задача об нахождении закона движения и скорости материальной точки по ее заданному ускорению. Эти задачи приводят к математической проблеме отыскания функции по заданной производной этой функции.

Определение.Функция называется первообразной для функции на промежутке X, если в каждой точке из промежутка X:

1) является дифференцируемой (при этом если точка - конец промежутка , то в ней должна существовать соответствующая односторонняя производная);

2) .

Пример.Для функции первообразной является, например, функция .Очевидно, что функция -также ее первообразная.

Следующее утверждение сразу следует из определения первообразной:

Лемма 1.Если – некоторая первообразная для функции , то также является первообразной для функции .

Верно и обратное утверждение:

Лемма 2.Пусть и – две первообразные для функции на промежутке X. Тогда они отличаются только на константу,

то есть .

Доказательство. Найдем производную от разности этих первообразных:

. Тогда, по теореме об условиях постоянства функции на промежутке, .

Следствие. Если – некоторая первообразная функции на промежутке X, то { , где C – произвольная константа} – это множество всех первообразных функции на промежутке X.

Определение.Неопределённый интеграл функции – это множество всех первообразных для неё. Он обозначается символом .

Из этого определения и предыдущего следствия видим, что
= { , где C – произвольное действительное число, – некоторая первообразная функции }. Обычно это записывают короче: , где .