Рациональной функцией будем называть функцию, при вычислении которой используются следующие математические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую степень.
Интегралы вида .
Данный интеграл сводится к интегрированию рациональных дробей заменой переменной . Тогда , .
После подстановки получаем
.
Полученное выражение является рациональной дробью.
Задача.Найти
Сделаем замену переменной . Тогда , .
После подстановки получаем
Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде
.
Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.
Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен - знаменателю в левой части выражения, и приравняем числители в правой и левой частях. Получим
.
В полученном соотношении приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему уравнений для определения А, В, С.
.
Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты.
.
Тогда =
Подставляя , получаем =
Найти
Сделаем замену переменной . Тогда , .
После подстановки получаем
Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде
.
Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.
Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен - знаменателю в левой части выражения, и приравняем числители в правой и левой частях. Получим
.
В полученном соотношении приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему уравнений для определения А, В, С.
.
Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты.
.
Тогда
=
=
=
=
=
Подставляя , получаем
= .
Задача.Найти
Сделаем замену переменной . Тогда , .
После подстановки получаем
Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде
=.
Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.
Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен - знаменателю в левой части выражения, и приравняем числители в правой и левой частях. Получим
.
В полученном соотношении приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему уравнений для определения А, В, С.
.
Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты.
.
Тогда
.
Подставляя , получаем
= .
Интегралы вида .
Данный неопределенный интеграл сводится к интегрированию рациональной дроби по следующей схеме.
Обозначим через - наименьшее общее кратное чисел . (На всякий случай напомним, что наименьшим общим кратным для некоторого множества целых чисел называется такое наименьшее целое число, которое делится без остатка на все числа данного множества.)
Сделаем замену переменной . Тогда .
После указанной замены подынтегральное выражение превращается в рациональную дробь.
Рассмотрим примеры.
Задача.Найти .
Подынтегральная функция содержит и .
Наименьшим целым числом, которое делится на 2 и на 3 является число 6.
Сделаем замену , . Тогда . Напомним, что
. Следовательно , .
Тогда
.
Выражение, стоящее под знаком интеграла является неправильной рациональной дробью. Следовательно, его можно представить как сумму многочлена и правильной рациональной дроби.
Имеем
Следовательно
Подставляя , получаем
= .
Задача.Найти
Сделаем замену переменной . Тогда , , . Тогда получаем
.
Подставляя , получаем окончательный ответ
.
Интегралы вида .
Данный интеграл сводится к интегрированию рациональных дробей путем следующей замены (так называемая «универсальная тригонометрическая подстановка»). Обозначим . Тогда , .
Из школьного курса тригонометрии известны формулы выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла. На всякий случай мы напомним эти формулы. Итак:
. .
Такая подстановка приводит вычисление исходного интеграла к интегрированию рациональной дроби.
Задача.Найти .
Сделаем замену переменной . Тогда
= .
Таким образом:
= .
Задача.Найти .
Используя замену , получаем
.
То есть .
Рассмотрим еще один класс интегралов – интегралы вида .
Поскольку , то данный тип интегралов можно вычислять, используя универсальную тригонометрическую подстановку. Однако существует замена переменной, которая позволяет вычислить этот интеграл более просто. Такой заменой является . Тогда , . После такой подстановки вычисление интеграла сводится к интегрированию рациональной дроби.
Задача.Найти .
Сначала убедимся, что данный интеграл действительно относится к указанному типу. Для этого преобразуем данное выражение
.
Выражение является правильной рациональной дробью и может быть разложено в сумму простейших рациональных дробей. Имеем
После приведения к общему знаменателю в правой и левой частях получаем
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений
Решая эту систему, получаем
.
Следовательно
=
=
= .
Получаем = .
Задача.Найти
После замены переменной получаем
= .
Следовательно
= .
Тригонометрические подстановки в интегралах, содержащих выражения , , .
В этих случая полезны следующие подстановки.
Для случая выражения используется замена . Тогда , .
Для случая выражения используется замена . Тогда , .
Для случая выражения используется замена . Тогда , .
Задача.Найти .
Сделаем замену . Тогда .
Следовательно
= .
Получаем = .
Задача.Найти .
Сделаем замену . Тогда , .
Следовательно
= .
Получаем .
Найти .
Сделаем замену . Тогда ,
.
Следовательно
= .
Получаем .
Интегралы вида .
Напомним некоторые формулы тригонометрии:
;
;
.
Задача.Найти .
Решение.
= .
Задача.Найти .
Решение.
= .
Задача.Найти .
Решение.
= .
Интегралы вида .
Рассмотрим два случая вычисления таких интегралов.
Первый случай – это когда, по крайней мере, один из показателей степени или является нечетным числом. Будем считать для определенности нечетным числом, то есть . Обозначим . Следовательно .
Тогда
= .
Полученное подынтегральное выражение является многочленом и его интегрирование не вызовет затруднений.
Задача.Найти .
Пусть . Тогда .
Имеем
=
.
Задача.Найти .
Пусть . Тогда .
Имеем
= .
Второй случай – оба показателя степени и являются четными числами.
В этом случае для понижения степени используются формулы
; .
Задача.Найти .
Решение.
=
=
=
=
= .
Таким образом = .
Замечания:
- при вычислении мы воспользовались формулой двойного угла ;
- при вычислении мы воспользовались правилом интегрирования в случае, когда, по крайне мере, одна из степеней нечетная.