Напомним, что рациональной дробью называется выражение вида:
, где - многочлены степени и соответственно.
Дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе строго меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.
Известно, что всякая неправильная ( )дробь может быть представлена в виде
= , где - многочлен соответствующей степени, а - правильная рациональная дробь.
Поскольку проблема интегрирования многочлена не представляет серьезных трудностей, то основной вопрос – это интегрирование правильных рациональных дробей.
Простейшими рациональными дробями называются следующие выражения:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ,
где в последних двух выражениях .
Известна теорема о том, что всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей.
Поясним вид такого представления.
Пусть имеется правильная рациональная дробь .
Любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения линейных и квадратных множителей.
Предположим, что
Где - целые числа,
Тогда дробь может быть представлена в виде
.
Методы определения коэффициентов разложения будут рассмотрены на конкретных примерах.
Приведем схему интегрирования простейших дробей.
1.
2.
3. Схема вычисления интегралов вида была изложена ранее.
4.Рассмотрим схему вычисления интегралов вида .
Выделив полный квадрат, представим квадратный трехчлен в виде
. Поскольку , то обозначим . Сделаем замену переменной .
Тогда имеем
.
Вычислим каждый интеграл отдельно.
Рассмотрим схему вычисления второго интеграла . Обозначим . Его вычисление при не представляет трудностей, поскольку он является табличным интегралом .
Далее наш метод состоит в том, чтобы получить рекуррентное соотношение, которое позволяет сводить вычисление к вычислению .
Преобразуем интеграл к виду
Это соотношение перепишем в виде
Для вычисления интеграла в правой части используем формулу интегрирования по частям. Обозначим:
, . Тогда , .
Получаем
Таким образом .
Задача.Найти .
Используя полученное рекуррентное соотношение, получаем
= .
Используем еще один раз рекуррентное соотношение.
Тогда
=
Вычисление последнего интеграла не представляет трудностей. Следовательно
=
Далее приведем примеры интегрирования рациональных дробей.
Задача.Найти
Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде
.
Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.
Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен - знаменателю в левой части выражения и приравняем числители в правой и левой частях. Получим
. (1)
В соотношении (1) приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему уравнений для определения А, В, С.
.
Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты. Отметим, что в данном случае нет необходимости решать систему уравнений, поскольку неизвестные коэффициенты можно определить более простым путем. Равенство (1) рассматриваем как равенство многочленов, верное для любых значений . Подставим в левую и правую части этого равенства . Получим
, .
Подставляя , имеем
, .
Подстановка дает
, .
Следовательно
.
Тогда
=
= .
Ответ: =
Задача.Найти
Поскольку дробь правильная, то представим ее в виде суммы простейших дробей вида
.
Приводя к общему знаменателю, и, приравнивая числители в левой и правой частях, получаем
. (2)
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему уравнений для определения А, В, С.
.
Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты. Отметим, что в данном случае нет необходимости полностью решать систему уравнений, поскольку часть неизвестных коэффициентов можно определить более простым путем. Равенство (2) рассматриваем как равенство многочленов, верное для любых значений . Подставим в левую и правую части этого равенства . Получим
, .
Подставим в левую и правую части этого равенства . Получим
, .
Из первого уравнения системы находим
.
Тогда
.
Следовательно
=
=
Ответ: = .
Задача.Найти
Разложим это выражение на простейшие дроби
.
Определяем коэффициенты
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем
Часть коэффициентов определим независимым путем.
Полагая , , получаем
, ;
, ;
, .
Тогда .
Следовательно
=
=
Ответ:
Задача.Найти .
Подынтегральное выражение является неправильной рациональной дробью. Представим его в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.
Для этого используем схему деления многочлена на многочлен
_
+1
_
Следовательно
=
Полученную правильную рациональную дробь представим в виде суммы простейших дробей
Приводя к общему знаменателю, и, приравнивая числители в левой и правой частях, получаем
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , имеем систему уравнений
Решением этой системы являются: ; С=2.
Тогда =
= .
Ответ: = .
Задача.Найти .
Правильную рациональную дробь представим в виде суммы простейших дробей
Приводя к общему знаменателю, и, приравнивая числители в левой и правой частях, получаем
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений
Коэффициент А можно найти непосредственно подстановкой в исходное уравнение. Получаем