русс | укр

Языки программирования

ПаскальСиАссемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование

Все о программировании


Linux Unix Алгоритмические языки Аналоговые и гибридные вычислительные устройства Архитектура микроконтроллеров Введение в разработку распределенных информационных систем Введение в численные методы Дискретная математика Информационное обслуживание пользователей Информация и моделирование в управлении производством Компьютерная графика Математическое и компьютерное моделирование Моделирование Нейрокомпьютеры Проектирование программ диагностики компьютерных систем и сетей Проектирование системных программ Системы счисления Теория статистики Теория оптимизации Уроки AutoCAD 3D Уроки базы данных Access Уроки Orcad Цифровые автоматы Шпаргалки по компьютеру Шпаргалки по программированию Экспертные системы Элементы теории информации

Интегрирование рациональных дробей.


Дата добавления: 2015-09-15; просмотров: 1080; Нарушение авторских прав


Напомним, что рациональной дробью называется выражение вида:

, где - многочлены степени и соответственно.

Дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе строго меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

Известно, что всякая неправильная ( )дробь может быть представлена в виде

= , где - многочлен соответствующей степени, а - правильная рациональная дробь.

Поскольку проблема интегрирования многочлена не представляет серьезных трудностей, то основной вопрос – это интегрирование правильных рациональных дробей.

Простейшими рациональными дробями называются следующие выражения:

 

1) ; 2) ; 3) ; 4) ,

где в последних двух выражениях .

Известна теорема о том, что всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей.

Поясним вид такого представления.

Пусть имеется правильная рациональная дробь .

Любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения линейных и квадратных множителей.

Предположим, что

Где - целые числа,

Тогда дробь может быть представлена в виде

.

Методы определения коэффициентов разложения будут рассмотрены на конкретных примерах.

Приведем схему интегрирования простейших дробей.

1.

2.

3. Схема вычисления интегралов вида была изложена ранее.

4.Рассмотрим схему вычисления интегралов вида .

Выделив полный квадрат, представим квадратный трехчлен в виде

. Поскольку , то обозначим . Сделаем замену переменной .

Тогда имеем

 

.

 

Вычислим каждый интеграл отдельно.

 

Рассмотрим схему вычисления второго интеграла . Обозначим . Его вычисление при не представляет трудностей, поскольку он является табличным интегралом .



Далее наш метод состоит в том, чтобы получить рекуррентное соотношение, которое позволяет сводить вычисление к вычислению .

Преобразуем интеграл к виду

 

Это соотношение перепишем в виде

Для вычисления интеграла в правой части используем формулу интегрирования по частям. Обозначим:

, . Тогда , .

Получаем

Таким образом .

 

Задача.Найти .

Используя полученное рекуррентное соотношение, получаем

= .

Используем еще один раз рекуррентное соотношение.

Тогда

 

=

Вычисление последнего интеграла не представляет трудностей. Следовательно

 

=

 

Далее приведем примеры интегрирования рациональных дробей.

Задача.Найти

Выражение, стоящее под знаком интеграла, является правильной рациональной дробью. Представление этой дроби в виде суммы простейших дробей ищем в виде

.

Осталось определить неизвестные пока коэффициенты А, В, С.

Приведем правую часть к общему знаменателю, который равен - знаменателю в левой части выражения и приравняем числители в правой и левой частях. Получим

. (1)

В соотношении (1) приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему уравнений для определения А, В, С.

.

Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты. Отметим, что в данном случае нет необходимости решать систему уравнений, поскольку неизвестные коэффициенты можно определить более простым путем. Равенство (1) рассматриваем как равенство многочленов, верное для любых значений . Подставим в левую и правую части этого равенства . Получим

, .

Подставляя , имеем

, .

Подстановка дает

, .

Следовательно

.

Тогда

=

= .

Ответ: =

 

Задача.Найти

Поскольку дробь правильная, то представим ее в виде суммы простейших дробей вида

.

Приводя к общему знаменателю, и, приравнивая числители в левой и правой частях, получаем

. (2)

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях и получаем систему уравнений для определения А, В, С.

.

Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты. Отметим, что в данном случае нет необходимости полностью решать систему уравнений, поскольку часть неизвестных коэффициентов можно определить более простым путем. Равенство (2) рассматриваем как равенство многочленов, верное для любых значений . Подставим в левую и правую части этого равенства . Получим

, .

Подставим в левую и правую части этого равенства . Получим

, .

Из первого уравнения системы находим

.

Тогда

.

Следовательно

=

=

Ответ: = .

 

Задача.Найти

Разложим это выражение на простейшие дроби

.

Определяем коэффициенты

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем

 

Часть коэффициентов определим независимым путем.

Полагая , , получаем

 

, ;

, ;

, .

Тогда .

Следовательно

=

 

=

Ответ:

 

Задача.Найти .

Подынтегральное выражение является неправильной рациональной дробью. Представим его в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Для этого используем схему деления многочлена на многочлен

 

_
    +1
_  
 
   
         

 

Следовательно

 

=

 

Полученную правильную рациональную дробь представим в виде суммы простейших дробей

 

Приводя к общему знаменателю, и, приравнивая числители в левой и правой частях, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , имеем систему уравнений

Решением этой системы являются: ; С=2.

Тогда =

 

= .

 

Ответ: = .

 

Задача.Найти .

Правильную рациональную дробь представим в виде суммы простейших дробей

 

 

Приводя к общему знаменателю, и, приравнивая числители в левой и правой частях, получаем

 

 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений

 

 

Коэффициент А можно найти непосредственно подстановкой в исходное уравнение. Получаем

, то есть .

Тогда

 

= =

 

= =

=

= =

= =

= .

 

Ответ: .

 



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Неопределенных интегралов. | Интегралы, сводящиеся к интегрированию рациональных дробей.


Карта сайта Карта сайта укр


Уроки php mysql Программирование

Онлайн система счисления Калькулятор онлайн обычный Инженерный калькулятор онлайн Замена русских букв на английские для вебмастеров Замена русских букв на английские

Аппаратное и программное обеспечение Графика и компьютерная сфера Интегрированная геоинформационная система Интернет Компьютер Комплектующие компьютера Лекции Методы и средства измерений неэлектрических величин Обслуживание компьютерных и периферийных устройств Операционные системы Параллельное программирование Проектирование электронных средств Периферийные устройства Полезные ресурсы для программистов Программы для программистов Статьи для программистов Cтруктура и организация данных


 


Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

 
 

© life-prog.ru При использовании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.

Генерация страницы за: 0.01 сек.