Неопределенных интегралов.

Формула интегрирования по частям имеет вид

В этой формуле за и обозначены дифференциалы некоторых функций.

На всякий случай еще раз напомним определение дифференциала функции , а так же формулу восстановления функции по ее дифференциалу .

Задача.Найти .

При использовании формулы интегрирования по частям важно правильно на первом этапе разбить подынтегральное выражение на два множителя и . Неудачное разбиение может привести не к упрощению, а, наоборот, к усложнению примера. В указанном примере обозначим . Всю оставшуюся часть подынтегрального выражения мы обозначим , то есть .

Тогда имеем:

;

.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

.

Для вычисления последнего интеграла подынтегральное выражение преобразуем к виду

Тогда получаем

.

Ответ: .

Формула интегрирования «по частям» применяется для вычисления

интегралов вида: ; ; .

Где - многочлен степени . При вычислении таких интегралов принимается .

Отметим, что тогда:

1) , то есть ;

2) , то есть ;

3) , то есть .

Задача.Найти .

Полагаем , следовательно . Тогда .

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

+С.

Мы не будем проводить дальнейшее алгебраическое упрощение данного выражения.

Задача.Найти .

Пусть .

Тогда .

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

.

Мы получили интеграл подобного типа, только степень многочлена стала меньше. Применим еще раз метод интегрирования по частям.

Пусть .

Тогда .

Получаем

=

=

=

Ответ:

Если вы хорошо овладели навыками интегрирования, то можно явно не выписывать чему равно и , и , проделывая промежуточные выкладки в уме. Покажем это на примере.

Задача.Найти .

= .

Ответ: = .

Следующий тип интегралов, для которых применяется формула интегрирования по частям – это интегралы вида

, где - многочлен степени , целое положительное число. В этом случае принимается .

Задача.Найти .

Пусть , значит . Тогда , .

Получаем =

=

Теперь обозначим , значит . Тогда , .

Получаем = =

=

=

= .

Ответ: = .

Существует еще один класс интегралов, при вычислении которых полезно применить формулу интегрирования по частям. Применяемый прием называется «интегрирование с возвратом». Суть его состоит в том, что в результате применения формулы интегрирования по частям мы получаем уравнение для нахождения искомого интеграла.

Приведем пример вычисления интегралов вида и .

Задача.Найти .

Пусть . Значит . Тогда .

Получаем

.

Далее обозначим . Значит . Тогда, как и ранее . Применяя еще раз формулу интегрирования по частям, получаем

=

Раскрываем скобки

.

Фактически мы получили уравнение для определения искомого интеграла .

Переносим интеграл из правой части соотношения в левую

.

Получаем

= .

Задача.Найти .

Пусть . Значит . Тогда .

Получаем

.

Далее обозначим . Значит . Тогда, как и ранее . Применяя еще раз формулу интегрирования по частям, получаем

=

Раскрываем скобки

.

Переносим интеграл из правой части соотношения в левую

.

Тогда

= .

Аналогичным образом могут быть вычислены интегралы вида:

и .

Задача.Найти .

Обозначим , . Тогда , .

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

= .

Преобразуем данное равенство к виду

=

Последний из интегралов в правой части является табличным. Вычисляя его, имеем

=

Из полученного выражения следует

=

Тогда

= .

Задача.Найти .

Обозначим , . Тогда , .

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

= .

Преобразуем данное равенство к виду

=

=

Последний из интегралов в правой части является табличным. Вычисляя его, получаем

=

Из полученного выражения следует

=

Тогда

= .