Определение. Определенный интеграл , где промежуток интегрирования [a;b] конечный, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], называют собственным интегралом.
Определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв, называется несобственным интегралом.
Несобственный интеграл I рода (интеграл с бесконечным промежутком интегрирования).
Определение. Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a,+¥). Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом I рода и обозначают .
Таким образом, по определению, .
В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке (-¥,b]: .
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется формулой: , с – некоторое произвольное число.
В этом случае интеграл слева сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба интеграла справа, и расходится, если расходится хотя бы один из них.
Пример. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
, следовательно несобственный интеграл сходится.
Пример. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
, так предел не существует, то несобственный интеграл расходится.
Пример. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Несобственный интеграл II рода (интеграл от разрывной функции).
Определение. Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a,b) и имеет бесконечный разрыв при x=b. Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом II рода и обозначают .
Таким образом, по определению, .
Если предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае (предел не существует или бесконечен), то говорят, что интеграл расходится.
Если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [a,b], то несобственный интеграл II рода определяется формулой . В этом случае интеграл называют сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла .
IV. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у=f(x), прямыми х=а, х=b, осью Ох может быть вычислена по формуле: .
Площадь фигуры, ограниченной графиками функций у=f1(x), у=f2(x), прямыми х=а, х=b (при условии f2(x)³ f1(x)) можно найти по формуле .
Если фигура имеет сложную форму, то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было применить указанные формулы.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и графиком функции у=х2-2х при хÎ[0;3].
Найдем площадь фигуры, изображенной на рисунке.
Вычисление длины дуги плоской кривой.
Определение. Пусть дана кривая АВ, уравнение которой у=f(x), где хÎ[а;b].
Под длиной дуги АВ понимают предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена стремится к 0.
Если функция у=f(x) и ее производная у¢=f¢(x) непрерывны на отрезке [а;b], то кривая АВ имеет длину, равную .
Пример Найти длину окружности радиуса R.
Найдем часть длины окружности (от точки (0;R) до точки (R;0)).Так как , то . Тогда .
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.
Пусть требуется найти объем тела V , причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например, оси Ох: S=S(x), a£x£b.
Через произвольную точку хÎ[а;b] проведем плоскость, перпендикулярно оси Ох. Обозначим S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) будем считать известной непрерывной функцией от х. обозначим V(x) объем тела, лежащего левее плоскости сечения. V(a)=0, V(b)=V.
Дифференциал dV представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и х+Dх, который можно приближенно принять за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому dV= S(x)dx.
. Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.
Пример. Найти объем эллипсоида .
Рассекая эллипсоид плоскостью, перпендикулярной оси Ох, и на расстоянии х от плоскости yOz (-а£x£а), получим эллипс (см рисунок): . Площадь этого эллипса равна . Тогда по формуле объема по площади параллельных сечений получаем: .
Вычисление объема тела вращения.
Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией y=f(x)³0, прямыми х=а, х=b, осью Ох. Полученная при таком вращении фигура называется телом вращения.
Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х (хÎ[а;b]) оси Ох, есть круг радиуса R=у=f(x). Следовательно . Применяя формулу объема тела по площади параллельных сечений, получаем: .
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции х=j(у)³0 и прямыми х=0, у=с, у=d (c<d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу равен .
Пример. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , х=0, вокруг оси Оу.
По формуле находим
Вычисление площади поверхности вращения.
Пусть кривая АВ является графиком функции y=f(x)³0, где хÎ[а;b], а функция y=f(x) и ее производная y¢=f¢(x) непрерывны на этом отрезке. Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох.
Через произвольную точку хÎ[а;b] проведем плоскость, перпендикулярно оси Ох. Эта плоскость пересекает поверхность вращения по окружности радиуса R=y=f(x). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от х(s=s(x), s(a)=0, s(b)=S).
Дадим аргументу х приращение Dх=dx. Через точку х+ dxÎ[а;b] также проведем плоскость, перпендикулярно оси Ох. Функция s=s(x) получит приращение Ds.
Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований равны у и у+dy. Площадь боковой поверхности такого усеченного конуса равна ds=p(у+у+ dy)×dl=2pуdl+pdydl. Величина dydl является бесконечно малой, поэтому получаем ds=2pуdl, или, , .
Интегрируя полученное равенство в пределах от х=а до х=b, получаем: .
Пример. Найти площадь поверхности шара радиуса R.
Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности , вокруг оси Ох. Тогда по формуле находим: .
Работа переменной силы.
Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F=F(x), направленной параллельно этой оси.
Работа, произведенная этой силой при перемещении точки М из положения х=а в положение х=b (a<b) находится по формуле .
Пример. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05м, если сила 100Н растягивает эту пружину на 0,01м?
По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, то есть F=кх, где к – коэффициент пропорциональности. По условию задачи сила F=100Н растягивает пружину на х=0,01м; следовательно, 100=к0,01, откуда к=10000; следовательно, F=10000x.
По формуле искомая работа равна .
Пример. Найти работу, которую необходимо совершить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты Нм и радиуса основания Rм.
Работа, затрачиваемая на поднятие тела на высоту h равна рh. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев неодинакова.
Для решения данной задачи введем систему координат так, как показано на рисунке.
Работа по выкачиванию из резервуара слоя жидкости толщиной х (0£x£H), есть функция от х, то есть А=А(х), где 0£x£H, А(0)=0, А(Н)=А0.
Находим главную часть приращения DА при изменении х на величину Dх=dx, то есть находим дифференциал функции dA(x).
Будем считать, что dx настолько мало, что «элементарный» слой жидкости находится на одном расстоянии х от края резервуара. Тогда dA(x)=dр×х, где dр – вес этого слоя. dр=ggdv, где g – ускорение свободного падения, g – плотность жидкости, dv – объем «элементарного» слоя жидкости. Объем этого «элементарного» слоя жидкости равен dv=pR2dx.
Таким образом, dр=ggdv= ggpR2dx и dA(x)= ggpR2 хdx.
Интегрируя полученное равенство в пределах от х=0 до х=Н получаем: .
Путь, пройденный телом.
Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v=v(t). Найдем путь s, пройденный ею за промежуток времени от t1 до t2.
При движении точки в одном направлении скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени (v(t)=s¢(t)). То есть .следовательно, ds=v(t)dt.
Интегрируя полученное равенство в пределах от t=t1 до t=t2, получаем .
Пример. Найти путь, пройденный телом за 4с от начала движения, если скорость тела
v(t)=10t+2 (м/с)
Если v(t)=10t+2, то путь, пройденный телом от начала движения (t=0) до конца 4 секунды равен
, где промежуток интегрирования [a;b] конечный, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], называют собственным интегралом.
, то его называют несобственным интегралом I рода и обозначают 
.
.
.
, с – некоторое произвольное число.
или установить его расходимость.
, следовательно несобственный интеграл сходится.
или установить его расходимость.
, так предел 
не существует, то несобственный интеграл расходится.
или установить его расходимость.
, следовательно несобственный интеграл расходится.
, то его называют несобственным интегралом II рода и обозначают 
.
.
. В этом случае интеграл 
.
.
терпит бесконечный разрыв.
, следовательно несобственный интеграл расходится.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у=f(x), прямыми х=а, х=b, осью Ох может быть вычислена по формуле: 
.
.
Если фигура имеет сложную форму, то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было применить указанные формулы.
Вычисление длины дуги плоской кривой.
Если функция у=f(x) и ее производная у¢=f¢(x) непрерывны на отрезке [а;b], то кривая АВ имеет длину, равную 
.
часть длины окружности (от точки (0;R) до точки (R;0)).Так как 
, то 
. Тогда 
.
Пусть требуется найти объем тела V , причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например, оси Ох: S=S(x), a£x£b.
. Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.
.
Рассекая эллипсоид плоскостью, перпендикулярной оси Ох, и на расстоянии х от плоскости yOz (-а£x£а), получим эллипс (см рисунок): 
. Площадь этого эллипса равна 
. Тогда по формуле объема по площади параллельных сечений получаем: 
.
. Применяя формулу объема тела по площади параллельных сечений, получаем: 
.
.
Пример. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями 
, х=0, 
вокруг оси Оу.
Пусть кривая АВ является графиком функции y=f(x)³0, где хÎ[а;b], а функция y=f(x) и ее производная y¢=f¢(x) непрерывны на этом отрезке. Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох.
, 
.
.
, вокруг оси Ох. Тогда по формуле 
.
.
.
Работа, затрачиваемая на поднятие тела на высоту h равна рh. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев неодинакова.
.
.следовательно, ds=v(t)dt.
.