Определение. Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или подынтегрального выражения) и применяя свойства неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам называется непосредственным интегрированием.
Часто при непосредственном интегрировании используются следующие преобразования дифференциала (операция «внесения под знак дифференциала»):
du=d(u+a), где а – некоторое число.
, а¹0.
.
Например. 1) ;
2) ;
3) .
При вычислении данных интегралов пользовались формулами 1 и 2 таблицы интегралов, которая приведена ниже.
Таблица основных неопределенных интегралов.
Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной).
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.
Данный метод интегрирования основывается на следующей теореме:
Теорема. Пусть функцию f(x) можно представить в виде: f(x)=g(j(x))×j¢(х), тогда если G(u) является первообразной для g(u), то и G(j(x)) является первообразной для g(j(x)). То есть имеет место равенство: .
Например.
.
Метод интегрирования по частям.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение некоторого интеграла представляется в виде произведения двух сомножителей u и dv, затем используется формула интегрирования по частям.
Теорема Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы, тогда имеет место формула:
.
Так как u¢(x)dx=du, v¢(x)dx=dv, то формулу можно переписать в виде:
Например.
Формулу интегрирования по частям в процессе решения можно применять несколько раз.
Например
Например
перенесем из правой части равенства в левую:
Некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:
; ; , где Р(х)– многочлен от х, к – некоторое число
u=P(x), dv – остальные множители
; ; ; ;
dv=P(x)dх, u – все остальные множители
; , где а и b – некоторые числа
, dv – остальные множители
Интегрирование рациональных дробей.
ОпределениеРациональнымибудем называть дроби вида , где Pn(x), Qm(x) многочлены соответственно n-ой и m-ой степени от х. К простейшим рациональным дробям отнесем дроби четырех типов:
, где А и а – некоторые действительные числа, – простейшая дробь первого типа;
– простейшая дробь второго типа;
– простейшая дробь третьего типа;
– простейшая дробь четвертого типа.
Рассмотрим интегрирование дробей первых трех типов.
1) .
2) .
3) Интегрирование простейшей дроби третьего типа проводится в два этапа. Разберем процесс интегрирования на примере.
(выделим в числителе производную знаменателя для последующего внесения под знак дифференциала: (х2+2х+3)¢=2х+2)
Определение Рациональные дроби называются правильными если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе и неправильными если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе.
В случае неправильной рациональной дроби возможно выделить целую часть. Для этого многочлен из числителя делят с остатком на многочлен знаменателя. Полученное частное будет целой частью, а остаток – числителем новой правильной рациональной дроби. Например, выделим целую часть: .
Таким образом, интегрирование рациональных дробей в обоих случаях сводится к интегрированию правильной рациональной дроби, которая не всегда является простейшей рациональной дробью одного из четырех типов.
Рассмотрим некоторый многочлен Q(x). Пусть число а является корнем этого многочлена, тогда Q(x)=(х-а)Q1(x), где Q1(x) – многочлен степени на 1 меньше степени Q(x). Число а может быть корнем кратности к, тогда Q(x)=(х-а)кQ2(x), где Q2(x) – многочлен степени на к меньше степени Q(x). Кроме того, многочлен Q(x) наряду с действительными корнями может иметь комплексный корень a+bi, тогда комплексное число a-bi также будет корнем Q(x). В этом случае Q(x)=(х2+px+q)Q3(x), где х2+px+q=(х-(a+bi))(х-(a-bi)). Если же указанные комплексные числа являются корнями кратности m, тогда Q(x)=(х2+px+q)mQ4(x).
Таким образом, всякий многочлен Q(x) можно представить в виде:
Теорема. Любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей 1-4 типов.
Например. Рассмотрим алгоритм представления правильной рациональной дроби в виде суммы простейших рациональных дробей 1-4 типов.
Так как знаменатели дробей равны, очевидно, должны быть равны и числители, а это равенство возможно при равенстве коэффициентов при одинаковых степенях х. Таким образом, подставив вместо неопределенных коэффициентов A, B, C их значения получим: .
Например Найти интеграл .
Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. После деления числителя на знаменатель с остатком получим: .
Разложим правильную рациональную дробь на простейшие методом неопределенных коэффициентов:
отсюда следует, что Решая полученную систему линейных уравнений, получаем Тогда , то есть = ;
Найдем отдельно
Таким образом, .
Интегрирование тригонометрических функций.
1. Пусть необходимо найти , где R – некоторая функция
При отыскании таких интегралов часто бывает полезно воспользоваться универсальной тригонометрической подстановкой: . С ее помощью всегда можно перейти от интеграла тригонометрической функции к интегралу от рациональной функции:
, , х=2arctgt, .
2. Если функция R(sinx, cosx) нечетна относительно sinx, то есть R(-sinx, cosx)=- R(sinx, cosx), то применяют подстановку cosx=t;
3. Если функция R(sinx, cosx) нечетна относительно соsx, то есть R(sinx, -cosx)=- R(sinx, cosx), то применяют подстановку sinx=t;
4. Если функция R(sinx, cosx) четна относительно sinx и соsx, то есть R(-sinx, -cosx)=R(sinx, cosx), то применяют подстановку tgx=t; такая же подстановка применяется в случае .
Например.
Например Найти интеграл . Подынтегральная функция четна относительно sinx, тогда применяем подстановку tgx=t.
.
5. Для нахождения интегралов вида используют следующие приемы:
а) если n – нечетное целое положительное число, то используют подстановку sinx=t;
б) если m – нечетное целое положительное число, то используют подстановку соsx=t;
в) если m и n – целые неотрицательные четные числа, то используют формулы понижения порядка ; ; ;
г) если m+n – четное отрицательное целое число, то используют подстановку tgx=t.
Например. .
Например.
.
Например.
.
6. Интегралы типа ; ; вычисляются с помощью тригонометрических формул:
; ;
Например .
Интегрирование иррациональных функций.
Квадратичные иррациональности.
Интегралы типа ; ; называют интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти выделив под знаком корня полный квадрат и сделать подстановку .
Например
.
Например
.
Дробно-линейная подстановка.
Интегралы типа , где a, b, c, d - действительные числа, a, b, d, g – натуральные числа, сводятся к интегралам от рациональной функции с помощью подстановки , где к – наименьшее общее кратное дробей .
Например.
.
Например.
.
Тригонометрическая подстановка.
Интегралы типа ; ; приводятся к интегралам от тригонометрических функций с помощью следующих подстановок: