Тема: «Координатные преобразования уравнений электромеханического преобразования энергии»

Достоинством полученного в предыдущей лекции математического описания процессов электромеханического преобразования энергии является, что в качестве независимых переменных в нем используются действительные токи, протекающие в обмотках, и действительные напряжения питания. Такое описание динамики системы дает прямое представление о физических процессах в системе, но является крайне сложным и неудобным для анализа.

Среди этих неудобств основными являются:

использование двух систем координат 2d, 2q,
зависимость собственных и взаимных индуктивностей от механической координаты .

Математическое описание процессов электромеханического преобразования энергии в обобщенной машине значительно упрощается путем линейных преобразований исходной системы уравнений за счет замены действительных переменных новыми переменными при условии сохранения адекватности математического описания физическому объекту.

Условие адекватности обычно формулируется в виде требования инвариантности мощности при преобразовании уравнений.

Вначале рассмотрим действительные преобразования, позволяющие перейти от физических переменных, определяемых двумя системами координат и d, q, к расчетным переменным, соответствующим одной системе координат, вращающейся в пространстве с произвольной скоростью .

Для получения формул прямого и обратного преобразования используем формальный прием, основанный на представлении мгновенных значений переменных электрической машины в виде пространственных векторов.

Рис. 3.1. Преобразование переменных статора обобщенной машины

На рис. 3.1. показано взаимное расположение осей жестко связанных со статором и произвольной системы ортогональных координат u,v, вращающихся относительно неподвижного статора со скоростью , а также представлены преобразования обмоточной переменной статора x_1,которой в общем виде обозначены напряжение, ток или потокосцепление обмоток статора.

Считая заданными реальные переменные статора в осях соответствующие им новые переменные в системе координат u,v можно определить как суммы проекций реальных переменных на новые оси u,v. С учетом построений, приведенных на рис. 3.1, можно записать:

(3.1)

Рис. 3.2. Преобразование переменных ротора обобщенной машины

На рис. 3.2. показано взаимное расположение осей жестко связанных со статором, осей d ,q, жестко связанных с ротором и произвольной системы ортогональных координат u,v, вращающихся относительно неподвижного статора со скоростью , а также представлены преобразования обмоточной переменной ротора x_2,которой в общем виде обозначены напряжение, ток или потокосцепление обмоток ротора.

Считая заданными реальные переменные ротора в осях d ,q, соответствующие им новые переменные в системе координат u,v можно определить как суммы проекций реальных переменных на новые оси u,v. С учетом построений, приведенных на рис. 3.2, можно записать:

(3.2)

Таким образом, формулы прямого преобразования переменных принимают следующий вид:

(3.3)

Рассматривая рис. 3.1, 3.2, нетрудно понять, что новые переменные и реальные переменные есть проекции на соответствующие оси координат одних и тех же результирующих векторов, равных геометрической сумме этих переменных. Учитывая это, с помощью аналогичных построений можно получить и формулы обратного перехода от преобразованных переменных к реальным переменным:

(3.4)

Используя полученные формулы, выполним преобразования математического описания процессов в обобщенной электрической машине.

В полученных в предыдущей лекции уравнениях электрического равновесия

(3.5)

выразим с помощью (3.4) все реальные переменные в системе координат u,v:

	(3.6)
	(3.7)
	(3.8)
	(3.9)

В уравнениях (3.6) и (3.7) выполним все предусмотренные операции дифференцирования и получим:

	(3.10)
	(3.11)

Умножим уравнение (3.10) на

а уравнение (3.11) – на

а затем сложим их. После приведения подобных членов с учетом, что

получим:

Если умножить уравнение (3.10) на

а уравнение (3.11) – на

можно получить уравнение для оси v статора:

Преобразованные уравнения электрического равновесия для обмоток ротора находятся аналогично. Полная система уравнений электрического равновесия в обмотках обобщенной электрической машины имеет следующий вид:

(3.12)

Уравнения потокосцеплений в реальных координатах 2d, 2q имеют вид:

(3.13)

Аналогично с помощью формул (3.4) можно преобразовать и уравнения потокосцеплений (3.13). В результате получим:

(3.14)

Соотношения (3.14) можно достаточно просто записать на основе физических соображений. В системе координат u,v, вращающейся со скоростью , обмотки машины неподвижны друг относительно друга. Поэтому потокосцепление каждой обмотки определяется собственной индуктивностью и взаимной индуктивностью с другой обмоткой, расположенной на той же оси. Взаимодействие с токами других обмоток отсутствует, так как их сдвинуты на 90 эл. градусов.

Проверим, выполняется требование инвариантности мощности и соответственно момента, так как скорость преобразованию не подлежит. Для упрощения записи примем

Тогда вся мощность поступает в машину со стороны статора:

(3.15)

Произведя в (3.15) замену переменных с помощью формул (3.4), получим:

(3.16)

Таким образом, условие инвариантности мощности при рассмотренном преобразовании переменных выполняется.

Теперь воспользуемся формулами преобразования для получения удобных выражений электромагнитного момента. В уравнении электромагнитного момента, полученном в предыдущей лекции:

заменим реальные переменные преобразованными, используя формулы (3.4). В результате получим:

(3.17)

В результате преобразований (3.17) с учетом (3.14) можно получить еще следующие формулы для определения электромагнитного момента обобщенной машины

	(3.18)
	(3.19)
	(3.20)

Рассматривая полученные уравнения электромеханического преобразования энергии, можно убедиться, что переход к модели с взаимно неподвижными обмотками существенно упрощает математическое описание динамических процессов. Коэффициенты взаимной индукции и потокосцепления взаимно неподвижных обмоток становятся независимыми от механической координаты, а движение реальных обмоток и вращение координатных осей учитываются в уравнениях электрического равновесия введением дополнительных ЭДС вращения. Значительно упрощается и уравнение электромагнитного момента двигателя, в котором устраняется зависимость от угла и электромеханическая связь проявляется посредством зависимости токов и потокосцеплений обмоток от скорости электродвигателя.

Контрольные вопросы к лекции No 3.

Назовите основные причины неудобств использования полученного в предыдущей лекции математического описания процессов электромеханического преобразования энергии в обобщенной электрической машине.
Какой формальный прием используется для получения формул прямого и обратного преобразования переменных обобщенной электрической машины?
Укажите физический смысл выражений для определения потокосцеплений обмоток обобщенной электрической машины в новой системе координат u,v.
Назовите основные достоинства полученного математического описания электромеханического преобразования энергии в системе координат u,v.

ОТВЕТЫ

No задания	Ответ
	Основными причинами неудобств являются:  использование двух систем координат 2d, 2q,  зависимость собственных и взаимных индуктивностей от механической координаты .
	Для получения формул прямого и обратного преобразования используется формальный прием, основанный на представлении мгновенных значений переменных электрической машины в виде пространственных векторов..
	В системе координат u,v, вращающейся со скоростью , обмотки машины неподвижны друг относительно друга. Поэтому потокосцепление каждой обмотки определяется собственной индуктивностью и взаимной индуктивностью с другой обмоткой, расположенной на той же оси. Взаимодействие с токами других обмоток отсутствует, так как их сдвинуты на 90 эл. градусов
	Переход к модели с взаимно неподвижными обмотками существенно упрощает математическое описание динамических процессов. Коэффициенты взаимной индукции и потокосцепления взаимно неподвижных обмоток становятся независимыми от механической координаты, а движение реальных обмоток и вращение координатных осей учитываются в уравнениях электрического равновесия введением дополнительных ЭДС вращения. Значительно упрощается и уравнение электромагнитного момента двигателя, в котором устраняется зависимость от угла и электромеханическая связь проявляется посредством зависимости токов и потокосцеплений обмоток от скорости электродвигателя