Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать ее в рациональную функцию, интеграл от которой может быть вычислен, как известно, всегда.
Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.
1) Интеграл вида , где n - натуральное число.
С помощью подстановки функция рационализируется.
Тогда
Пример 6.1.Вычислить неопределенный интеграл.
Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.
Проиллюстрируем это на примере.
Пример 6.2.Вычислить неопределенный интеграл.
2) Интегрирование биноминальных дифференциалов.
Определение 6.1. Биноминальным дифференциаломназывается выражение вида: , где – рациональные числа.
Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:
1) Если – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки:
, где - общий знаменатель и .
2) Если - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой:
, где – знаменатель числа .
3) Если - целое число, то используется подстановка:
, где s – знаменатель числа р.
Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.
На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.
3) Интегралы вида .
Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.
Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:
Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов: