Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

1) Интеграл вида .

В подынтегральном выражении буква означает некоторую рациональную функцию от переменных и .

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную функцию. Для этого необходимо применить следующие тригонометрические тождества:

,

Тогда .

Таким образом:

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример 5.1.Вычислить неопределенный интеграл.

Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную функцию и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Пример 5.2.Вычислить неопределенный интеграл.

2) Интеграл вида , если функция является нечетной относительно .

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку .

Функция может содержать только в четных степенях, и, следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно :

Пример 5.3.Вычислить неопределенный интеграл.

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно , а степень , входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

3) Интеграл вида , если функция является нечетной относительно .

По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка . Тогда получаем интеграл

Пример 5.4.Вычислить неопределенный интеграл.

4) Интеграл вида , если функция четная относительно и .

Для преобразования функции в рациональную функцию используется подстановка .

В этом случае .

Пример 5.5.Вычислить неопределенный интеграл.

[разделим числитель и знаменатель дроби на ] =

5) Интеграл от произведения синусов и косинусов различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

а)

.

б)

.

в)

.

Пример 5.6.Вычислить неопределенный интеграл.

Пример 5.7.Вычислить неопределенный интеграл.

Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

Пример 5.8.Вычислить неопределенный интеграл.

.

Пример 5.9.Вычислить неопределенный интеграл.

Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.

Пример 5.9.Вычислить неопределенный интеграл.

Итак, получаем, что интеграл . Тогда , делая обратную замену, будем иметь:

;

.