Интегрирование рациональных функций

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т.е.

Допустим, что эти многочлены не имеют общих корней. В этом случае возможно:

1) , тогда данная рациональная дробь неправильная;

2) , тогда данная рациональная дробь правильная.

Если дробь неправильная, то необходимо разделить числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен. В этом случае получим сумму какого-то многочлена и правильной рациональной дроби, т.е.:

. (4.1)

Пример 4.1.Представить неправильную рациональную дробь в виде (4.1).

Таким образом, замечаем, что при интегрировании рациональных дробей, основную трудность в интегрировании представляют правильные рациональные дроби.

Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Теорема 4.1. Пусть - правильная рациональная дробь. Знаменатель данной дроби всегда может быть представлен в виде: , где - это различные действительные корни многочлена соответствующей кратности , а - множители, которые соответствуют каждой паре комплексных корней этого многочлена кратности .

Тогда существуют действительные числа , такие что, эта дробь может быть разложена на элементарные дроби по следующей схеме:

. (4.2)

Замечание 4.1. В разложении этой дроби число слагаемых равно .

Итак, при интегрировании правильных рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях .

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Пример 4.2.Вычислить неопределенный интеграл.

Заметим, что ( . Следовательно, подынтегральная правильная рациональная дробь, в силу теоремы 4.1, разложится на следующие слагаемые:

Приводя к общему знаменателю правую часть равенства и, приравнивая соответствующие числители, получаем:

В левой части последнего равенства раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, а затем вынесем за скобки соответствующие степени . В результате получим:

Приравнивая соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях , получаем следующую систему:

; ;

; ; .

Итого:

Пример 4.3. Вычислить неопределенный интеграл.

Так как дробь неправильная, то предварительно следует выделить целую часть, а именно, представить эту дробь по формуле (4.1).

Итак,

Знаменатель подынтегральной дроби имеет корень . Поэтому разделим его на двучлен и представим данный знаменатель в виде линейных множителей (операция деления кубического многочлена на двучлен приведена ниже):

= = .

Следовательно,

Для того чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений . Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

;