Интегрирование элементарных дробей

Определение 3.1. Элементарныминазываются дроби следующих четырех типов:

I III

II IV , (3.1)

где .

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным интегралам подстановкой .

Решение дробей I-го типа:

.

Решение дробей II-го типа:

.

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей III типа. Для начала рассмотрим дробь более простого вида, которая в числителе содержит единицу, а в знаменателе квадратный трехчлен, т.е. это дробь вида: . Этот же метод применим и к дроби вида: .

Для вычисления неопределенных интегралов от этих дробей необходимо сначала в знаменателе выделить полный квадрат, затем привести к табличным интегралам подстановкой , где .

Выделение полного квадрата осуществляется следующим образом:

.

Пример 3.1. Вычислим следующие неопределенные интегралы, содержащие квадратный трехчлен:

1)

2)

Интеграл дроби типа III может быть представлен в виде:

.

Здесь в общем виде показано приведение интеграла от дроби типа III к двум табличным интегралам. Аналогично находятся интегралы от дробей, которые, в общем-то, не являются элементарными, это дроби вида .

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

Пример 3.2.Вычислим следующий неопределенный интеграл.

.

Вообще говоря, если у трехчлена выражение , то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее, ее можно интегрировать указанным выше способом.

Пример 3.3.Вычислим неопределенный интеграл.

1)

2)

Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.

Сначала рассмотрим частный случай когда .

Тогда интеграл вида можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде . Сделаем следующее преобразование:

.

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Обозначим: .

.

Для исходного интеграла получаем:

;

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее раз, то получится табличный интеграл .

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби типа IV в общем случае.

.

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки приводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.

Пример 3.4.Вычислим неопределенный интеграл.

.