Доказательство.

По правилу дифференцирования сложной функции

, т.е. функция имеет в качестве одной из своих первообразных функцию . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Поскольку , то

. (2.1)

По формуле (1.2.1) осуществляется замена переменной в неопределенном интеграле.

Пример 2.5. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Сделаем замену . Тогда данный интеграл сводится к интегралу .

Пример 2.6. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Замена Получаем:

.

Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

3) Метод интегрирования по частям.

Метод основан на следующей формуле:

(2.2)

Поскольку или . Проинтегрировав обе части последнего равенства и применив свойства неопределенного интеграла, получим требуемую формулу .

Формула интегрирования по частям позволяет находить интегралы многих элементарных функций. Она применяется к интегрированию выражений, которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей и , чтобы отыскание функции по ее дифференциалу и вычисление интеграла составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла . Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители и вырабатывается в процессе решения задач. Мы покажем на ряде примеров как применяется данный метод.

Пример 2.7. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

.

Замечание 2.1. При определении функции по дифференциалу мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенство (2.2) вместо выражение ). Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю.

Метод интегрирования по частям применяется, как правило, при нахождении интегралов следующего вида:

, ,

, .

Также этот метод применяется к интегралам, содержащим некоторые обратные тригонометрические функции такие как .

Пример 2.8. Вычислим следующие неопределенные интегралы:

1)

.

2)

.

3)

= .

4)

.

5)

.

6) Рассмотрим так называемые «круговые интегралы», которые находятся дважды интегрированием по частям.

.

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства. В результате имеем:

.

.

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным интегралам. Среди них рассмотрим применение частного случая метода подстановки – «внесение функции под знак дифференциала».

Пример 2.9. Вычислим следующие неопределенные интегралы:

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

5)

.

Метод внесения функции под знак дифференциала был применен в первом, третьем и четвертом случаях примера 9.