Методы интегрирования

Рассмотрим три основных метода интегрирования: метод непосредственного интегрирования; метод замены переменной, метод интегрирования по частям.

1) Метод непосредственного интегрирования.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием, а также на свойстве 4, 5 неопределенного интеграла. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Пример 2.1. Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

.

Пример 2.2. Требуется найти интеграл .

Решение.

При вычислении данного интеграла были использованы 1 и 2 формулы табличных интегралов.

Пример 2.3. Требуется найти интеграл .

Решение.

Пример 2.4. Требуется найти интеграл .

Решение. Подынтегральная функция представляет собой неправильную рациональную дробь. Необходимо числитель разделить на знаменатель по правилу деления многочленов (это правило подробным образом рассматривается далее в разделе «Интегрирование рациональных дробей»).

.

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

2) Метод замены переменных или метод подстановки. Данный метод основан на следующей теореме.

Теорема 2.1. Если первообразная функции , а - дифференцируемая функция, то функция также имеет первообразную, причем .