Первообразная функция. Неопределенный интеграл, его основные свойства

Интегральное исчисление функции одной переменной

Методические указания

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»

Оренбург

ИПК ГОУ ОГУ

ББК

УДК

Рецензент

кандидат физико-математических наук

Рассоха Е.Н.

Р56 Методические указания по изучению темы: «Неопределенный интеграл».- Оренбург: ОГУ, 2012.- 35с.

В методических указаниях изложены основные теоретические вопросы и продемонстрировано решение типовых задач и примеров по теме «Неопределенный интеграл». Методические указания предназначены для студентов всех форм обучения, обучающихся по программам высшего профессионального образования по специальности 150200 – «Автомобили и автомобильное хозяйство», 240400 – «Организация и безопасность движения», 230100 – «»

ББК

© Рассоха Е.Н., 2012

© РИК ОГУ 2012

Содержание

Введение

Первообразная функция. Неопределенный интеграл, его основные свойства

Определение 1.1. Функция называется первообразной функцией функции на отрезке , если в любой точке этого отрезка верно равенство:

. (1.1)

Пример 1.1.Функция - первообразная функции в интервале , поскольку для всех из этого интервала; функция - первообразная функции в интервале , так как ; функция - первообразная функции в интервале , так как .

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции в заданном промежутке может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число. То есть, если первообразная функции , то , где - произвольная постоянная, также является ее первообразной, поскольку . Можно также доказать и обратное утверждение, что если - две первообразные функции , то они отличаются произвольным слагаемым.

Определение 1.2. Неопределенным интеграломот данной функции называется множество всех ее первообразных и записывают:

, (1.2)

где . Знак ∫ называется знаком неопределенного интеграла; функция - подынтегральной функцией; выражение - подынтегральным выражением.

Операция нахождения первообразной данной функции называется интегрированием.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4. где – некоторые функции от , имеющие первообразные.

5.

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций. Такую таблицу простейших неопределенных интегралов нетрудно получить, воспользовавшись тем, что интегрирование является операцией, обратной дифференцированию. Будем исходить из формулы, что , тогда . Например, поскольку , то .

Применяя аналогичное рассуждение к каждой из формул таблицы дифференциалов, получим таблицу простейших неопределенных интегралов.

Таблица основных неопределенных интегралов:

1. .

2. = .

3. .

4. = .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. = .

15. = .

Отметим, что все указанные формулы справедливы в тех промежутках, в которых определены соответствующие функции. Например, формула 3 справедлива для любого промежутка, не содержащего точку ; формула 10 – для интервала и т.д. Также отметим, что формулы 14, 15 не относятся к простейшим неопределенным интегралам, но так как при интегрировании различных функций достаточно часто их можно свести к данным формулам, то эти формулы включают в таблицу основных неопределенных интегралов.