2. Выполнение каждой задачи данного демонстрационного варианта должен сопровождаться проверкой решения (см. образец).
1. = . Согласно свойствам 3 и 4 («константу желательно выносить за знак интеграла» и «интеграл суммы функций равен сумме интегралов от каждой функции») получаем: = , а это – табличные интегралы, поэтому решение: = .
ПРОВЕРКА = + ─ + = + + . Получено полное совпадение с подынтегральной функцией решаемого интеграла, значит, решение - верное.
Ответ = .
2. = = = . Для решения обоих интегралов используем приём «замены переменных»: = для интеграла и = - для интеграла . Тогда = = . Получаем = (табличный интеграл)= . С помощью обратной подстановки получаем = = .
Аналогичные преобразования для интеграла : = = приводят к результату = = = . Таким образом, общее решение = +С.
ПРОВЕРКА ( +С) = = ─ очевидное совпадение.
Ответ: = + +С.
3. = . Если присмотреться к числителю дроби, то без труда можно увидеть элементы производной выражения в знаменателе. Поэтому логично было бы использовать приём «замена функции»: = . Тогда дифференциал = = и интеграл принимает вид , т.е. снова табличный интеграл = . После обратной замены получаем = .
ПРОВЕРКА: = = =
= = - снова имеем полное совпадение выражения производной результата и подынтегральной функции решённого интеграла.
Ответ = +С.
4. = . Подынтегральная функция данной задачи при сравнении с той же функцией Примера 7 наводит на мысль использовать метод «по частям»: = .
ПРОВЕРКА = =
= = ─ интеграл взят верно.
Ответ = .
5. = . Сравнение этого интеграла с интегралом Примера 8 снова вызывает ассоциации с тем же методом «по частям»: = = , т.е. = . Тогда вводим
= . Снова применим метод «по частям», но уже к вторичному интегралу: . Продолжим интегрирование: = = = . Но последний интеграл совпадает с исходным интегралом, отсюда получаем следующее равенство = . Тогда 5 =
, = а искомый интеграл ─ = +С.
Согласно тексту задания в данном пункте необходимо построить вместе графики подынтегральной и первообразной функции и , чтобы визуально убедиться в выполнении основного свойства неопределённого интеграла: . Выбор интервала значений аргумента в общем случае – любой, хотя определённый интерес, например, может представлять анализ поведения этих функций вблизи точек экстремума первообразной функции, т.е. вблизи корней уравнения =0. Из текста решения данного интеграла следует, что подынтегральная функция , а первообразная функция (решение интеграла) = +С. Решаем уравнение: =0. Нетрудно убедиться, что это уравнение имеет бесконечное множество решений: . При значения обеих функций быстро уменьшаются из-за множителя , а при наоборот устремляются к , соответственно. Поэтому имеет смысл выбрать, например, интервал . Найдём корни, принадлежащие этому интервалу: . Поскольку ─ целое число, то эта величина в данном интервале может принять только четыре разных значения: 0,1,2 и 3, что соответствует четырём корням: . Построить совмещённый график Вы можете двумя способами: вручную или средствами Excel. Но в любом случае необходимо иметь таблицу, содержащую исходные данные и поэтому состоящую из трёх колонок. Первая ─ набор значений аргумента , две остальных ─ значения подынтегральной функции и первообразной функции для соответствующих значений . Алгоритм создания этой таблицы приведён в Приложении 2. Там же показано, как можно построить необходимый график на базе этой таблицы средствами Excel. В последнем случае построенный в Excel график можно распечатать на принтере и вклеить в отчёт (рис.1).
Рис.1. Графики подынтегральной и первообразной функций, соответственно, построенных средствами Excel.
Эти графики построены с использованием табл.4.
Таблица 4
Значения подынтегральной и первообразной функций .
-7,00
-0,65
0,16
-1,15
-1,30
0,31
1,61
-1,20
0,47
0,86
-0,98
0,63
-0,18
-0,94
0,79
-0,30
-0,98
0,94
-0,05
-1,01
1,10
0,07
-1,01
1,26
0,04
-1,00
1,41
-0,01
-1,00
1,57
-0,01
-1,00
Табл.4.Исходные данные: , подынтегральная функция и первообразная функция .
А теперь тот же рисунок, но выполнений от руки на базе той же таблицы (рис.2).
Рис.2. Графики подынтегральной и первообразной функций, соответственно, построенные вручную.
Хорошо видно, что на обоих рисунках нулям подынтегральной функции в точности соответствуют точки экстремумов первообразной функции , т.е. имеет место наглядное подтверждение свойства .
Естественно, что вы должны оформить любой из этих рисунков на ваш выбор.
ПРОВЕРКА: =
= = = ч.т.д.
Ответ: =. +С.
6. = . Согласно рекомендациям на с.13─14 проводим замену функции на функцию = = . Тогда искомый интеграл получит вид =
= = . Поэтому в соответствии со свойством 4 с.5 («интеграл суммы функций» равен «сумме интегралов») с использованием табличного интеграла получаем = ─ + = ( + - ). После обратной подстановки получаем: = ( + ) + С. Кстати сказать, с аналогичным интегралом можно познакомиться в Примере 14.
ПРОВЕРКА ( ( ─ + )+С) = + ( +
))= ( ─ + ─
─ ─ + ─ )= (1─ ). Используя основное тригонометрическое тождество , переписываем полученное выражение: (1─3 +3 ). Дальнейшие преобразования в скобках дают конечный результат: , подтверждающий правильность решённого интеграла.
Ответ: = ( + )+С.
7. = . Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами и , преобразуем подынтегральную функцию и получаем: = = =
+С, где = , а = .
Сначала с помощью формулы решаем первый
интеграл = = , где
· = = ;
· = =(снова замена аргумента)= ;
· = =(удвоение аргумента)= = + + ;
· = = = =(уже знакомым приёмом = )= =
.
После обратной замены = .
Возвращаемся к первому интегралу: = + + .
Второй интеграл решаем с помощью аналогичной замены: = = = . = = . После обратной замены = .
Собрав вместе результаты расчётов, получаем конечный результат:
= +С.
Авторы приносят извинения, но в виду того, что проверочные преобразования данной задачи оказались чрезвычайно громоздкими, мы не приводим подробно проверку! Желающие могут попробовать сделать это самостоятельно.
Ответ: = +С.
8. = . В этом интеграле подынтегральная функция (см. с. 16) последовательно преобразуется к форме, содержащей только степени функции и её дифференциал: . Воспользовавшись формулой = + и введя замену , получаем интеграл = . Этот интеграл легко решается:
= +С= +С.
После обратной подстановки получаем = +С.
N.B.! Этот алгоритм, естественно, не единственный: можно было бы сделать замену или и др.
ПРОВЕРКА
=
─ +
=
=
= =
= ─ правильность решения подтверждена.
Ответ: +С.
9. . Как было предложено в Примере 18, вводим замену = . Тогда = = , а интеграл = = + + +
+С. Обратная подстановка даёт окончательное решение
+С.
ПРОВЕРКА
= = , что свидетельствует о правильности решения.
Ответ: = +С.
10. . Интеграл этого типа был рассмотренранее (см. выше стр.17). Согласно приведённым там рекомендациям воспользуемся формулой: . Тогда = . Разбив этот интеграл на сумму двух «почти что табличных» интегралов и дважды воспользовавшись приёмом «замены аргумента» (см. Пример 1), получим решение +С.
ПРОВЕРКА
= = = = = -желаемый результат!
Ответ: +С.
11. Этот интеграл по рекомендациям страницы 18 и 19 сводится к интегралу ,для которого =9, =-8 и =-7.Получаем интеграл . Так как дискриминант знаменателя =32 , то для решения данного интеграла подходит метод «неопределённых коэффициентов» (см. стр. 11 и 12). Для этого вычислим корни трёхчлена знаменателя: = и = и перепишем наш интеграл в виде . После рутинных преобразований (см. Пример 20) получаем значения коэффициентов: = и = , а интеграл принимает свой промежуточный вид: +С. После обратной подстановки окончательное решение +С.
ПРОВЕРКА
=
=
=
= = ─ очевидное свидетельство правильности взятия этого интеграла.
Ответ: = +С.
12. I= . Если из-под радикала знаменателя вынести (см. стр. 19 и 20), то интеграл примет вид I= . Согласно рекомендациям на тех же страницах необходимо ввести замену = . После этого получаем интеграл I= . Вспомнив, что , получим I= = и, согласно дополнительной таблице интегралов, I= . Если вспомнить, что , то I= +С.
ПРОВЕРКА: =
=
= = = - мы убедились, что решение было верным.
Ответ: = +С.
13. I= . Такой тип интеграла уже рассматривался на страницах 20 и 21. По рецепту, предложенному там, вводим новую переменную = (6 - наименьшее общее кратное 2 и 3 –показателей радикалов знаменателя) = = = . Тогда интеграл примет вид: I= = . Выделяем целую часть и остаток: I= . А это уже табличные интегралы: I= +С. После обратной подстановки и соответствующих преобразований решение интеграла получит следующий вид I= +С.
ПРОВЕРКА:
Сначала приведём решение к виду, более удобному для дифференцирования: = + ─ +С. Тогда = + = +
= = = ─ полное совпадение с подынтегральной функцией.
Ответ: = +С.
14. I= . При взгляде на подынтегральную функцию возникает естественное желание сделать замену аргумента на какую-либо переменную, например, = = = . Исходный интеграл преобразуется в = . Об интеграле этого типа речь шла на с. 23. Согласно предлагаемому на этой странице алгоритму подынтегральная функция сначала расщепляется на произведение , затем преобразуется в , откуда со всей очевидностью напрашивается замена: = = = . Интеграл принимает вполне табличный вид = = = +С. После первой обратной замены = +С, а после второй и окончательной замены получаем = +С.
ПРОВЕРКА
=
+ =
= + = = . Прекрасный результат!!!
Ответ: = +С.
Библиографический список
1. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики./ И.П.Натансон– СПб.: Лань, 2001.
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах/. П.Е.Данко и др.– М.:ООО Издательский дом ОНИКС 21век: ООО «Издательство «Мир и образование», 2003. Ч.1.
3. Соболь Б.В Практикум по высшей математике./ Б.В. Соболь, Н.Т. Мишняков., В.М. Поршкеян./ Ростов н/Д: Феникс, 2004.
4. Справочное пособие по математике./ И.И. Ляшко., А.К.Боярчук., Я.Г.Гай. , Г.П. Головач. – М.: Едиториал УРСС, 2003. Т1.
5. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчёты. /Л.А. Кузнецов – СПб.: Лань, 2005
. ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Варианты заданий РГР.
Интегралы, отмеченные слева значком , сопроводить совмещённым графиком функций и .
= 
. Согласно свойствам 3 и 4 («константу желательно выносить за знак интеграла» и «интеграл суммы функций равен сумме интегралов от каждой функции») получаем: 
, а это – табличные интегралы, поэтому решение: 
.
= 
+ 
─ 
+ 
= 
+ 
= 
= 
. Для решения обоих интегралов используем приём «замены переменных»: 
= 
для интеграла 
и 
= 
- для интеграла 
. Тогда 
= 
= 
(табличный интеграл)= 
. С помощью обратной подстановки получаем 
= 
.
= 
= 
= 
. Таким образом, общее решение 
+С.
= 
= 
─ очевидное совпадение.
. Если присмотреться к числителю дроби, то без труда можно увидеть элементы производной выражения в знаменателе. Поэтому логично было бы использовать приём «замена функции»: 
= 
. Тогда дифференциал 
, т.е. снова табличный интеграл 
= 
. После обратной замены получаем 
.
= 
= 
=
= 
- снова имеем полное совпадение выражения производной результата и подынтегральной функции решённого интеграла.
. Подынтегральная функция данной задачи при сравнении с той же функцией Примера 7 наводит на мысль использовать метод «по частям»: 
.
= 
= 
= 
= 
.
. Сравнение этого интеграла с интегралом Примера 8 снова вызывает ассоциации с тем же методом «по частям»: 
= 
, т.е. 
. Снова применим метод «по частям», но уже к вторичному интегралу: 
. Продолжим интегрирование: 
= = 
. Но последний интеграл совпадает с исходным интегралом, отсюда получаем следующее равенство 
. Тогда 5 
, 
а искомый интеграл ─ 
+С.
и 
, чтобы визуально убедиться в выполнении основного свойства неопределённого интеграла: 
. Выбор интервала значений аргумента 
в общем случае – любой, хотя определённый интерес, например, может представлять анализ поведения этих функций вблизи точек экстремума первообразной функции, т.е. вблизи корней уравнения 
, а первообразная функция (решение интеграла) 
=0. Нетрудно убедиться, что это уравнение имеет бесконечное множество решений: 
. При 
значения обеих функций быстро уменьшаются из-за множителя 
, а при 
наоборот устремляются к 
, соответственно. Поэтому имеет смысл выбрать, например, интервал 
. Найдём корни, принадлежащие этому интервалу: 
. Поскольку 
─ целое число, то эта величина в данном интервале может принять только четыре разных значения: 0,1,2 и 3, что соответствует четырём корням: 
. Построить совмещённый график Вы можете двумя способами: вручную или средствами Excel. Но в любом случае необходимо иметь таблицу, содержащую исходные данные и поэтому состоящую из трёх колонок. Первая ─ набор значений аргумента 
, подынтегральная функция 
А теперь тот же рисунок, но выполнений от руки на базе той же таблицы (рис.2).
= 
= 
= 
= 
+С.
. Согласно рекомендациям на с.13─14 проводим замену функции 
на функцию 
= 
. Тогда искомый интеграл получит вид 
= 
= 
. Поэтому в соответствии со свойством 4 с.5 («интеграл суммы функций» равен «сумме интегралов») с использованием табличного интеграла 
получаем 
─ 
+ 
= 
( 
+ 
- 
). После обратной подстановки 
( 
+ 
) + С. Кстати сказать, с аналогичным интегралом можно познакомиться в Примере 14.
( 
+ 
)+С) 
= 
+ 
( 
+ 
))= 
( 
─ 
+ 
─
─ 
). Используя основное тригонометрическое тождество 
, переписываем полученное выражение: 
+3 
). Дальнейшие преобразования в скобках дают конечный результат: 
. Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами 
и 
, преобразуем подынтегральную функцию и получаем: 
= 
= 
+С, где 
, а 
.
решаем первый
= 
, где
= 
= 
= 
=(снова замена аргумента)= 
;
= 
=(удвоение аргумента)= 
= 
+ 
+ 
;
= 
= 
= 
=(уже знакомым приёмом 
= 
)= 
= 
.
.
+ 
+ 
.
= 
= 
= 
. 
= 
. После обратной замены 
.
+С.
. В этом интеграле подынтегральная функция (см. с. 16) последовательно преобразуется к форме, содержащей только степени функции 
и её дифференциал: 
. Воспользовавшись формулой 
= 
+ 
и введя замену 
, получаем интеграл 
= 
. Этот интеграл легко решается: 
+С= 
+С.
+С.
или 
и др.
=
─ 
+
=
=
= 
=
─ правильность решения подтверждена.
. Как было предложено в Примере 18, вводим замену 
. Тогда 
, а интеграл 
= 
= 
+ 
+
+С.
= 
= 
, что свидетельствует о правильности решения.
= 
. Интеграл этого типа 
был рассмотренранее (см. выше стр.17). Согласно приведённым там рекомендациям воспользуемся формулой: 
. Тогда 
= 
. Разбив этот интеграл на сумму двух «почти что табличных» интегралов и дважды воспользовавшись приёмом «замены аргумента» (см. Пример 1), получим решение 
+С.
= 
= = 
= 
= 
-желаемый результат!
+С.
Этот интеграл по рекомендациям страницы 18 и 19 сводится к интегралу
,для которого
=9, 
=-8 и
=-7.Получаем интеграл 
. Так как дискриминант знаменателя 
=32 
, то для решения данного интеграла подходит метод «неопределённых коэффициентов» (см. стр. 11 и 12). Для этого вычислим корни трёхчлена знаменателя: 
= 
и 
= 
и перепишем наш интеграл в виде 
. После рутинных преобразований (см. Пример 20) получаем значения коэффициентов: 
= 
и 
= 
, а интеграл принимает свой промежуточный вид: 
+С. После обратной подстановки окончательное решение 
+С.
= 
= 
= 
= 
─ очевидное свидетельство правильности взятия этого интеграла.
+С.
. Если из-под радикала знаменателя вынести 
(см. стр. 19 и 20), то интеграл примет вид I= 
. Согласно рекомендациям на тех же страницах необходимо ввести замену 
= 
. После этого получаем интеграл I= 
. Вспомнив, что 
, получим I= 
= 
и, согласно дополнительной таблице интегралов, I= 
. Если вспомнить, что 
, то I= 
+С.
= 
=
= 
= 
- мы убедились, что решение было верным.
. Такой тип интеграла уже рассматривался на страницах 20 и 21. По рецепту, предложенному там, вводим новую переменную 
(6 - наименьшее общее кратное 2 и 3 –показателей радикалов знаменателя) 
= 
= 
. Тогда интеграл примет вид: I= 
= 
. Выделяем целую часть и остаток: I= 
. А это уже табличные интегралы: I= 
+С. После обратной подстановки и соответствующих преобразований решение интеграла получит следующий вид I= 
+С.
+ 
─ 
+С. Тогда 
= 
+ 
= 
+ 
= 
= 
= 
─ полное совпадение с подынтегральной функцией.
+С.
. При взгляде на подынтегральную функцию возникает естественное желание сделать замену аргумента 
на какую-либо переменную, например, 
= 
. Исходный интеграл преобразуется в 
. Об интеграле этого типа речь шла на с. 23. Согласно предлагаемому на этой странице алгоритму подынтегральная функция сначала расщепляется на произведение 
, затем преобразуется в 
, откуда со всей очевидностью напрашивается замена: 
= 
. Интеграл принимает вполне табличный вид 
= 
= 
+С. После первой обратной замены 
+С, а после второй и окончательной замены получаем 
+С.
= 
+ 
= 
= 
+ 
= 
= 
. Прекрасный результат!!!
, сопроводить совмещённым графиком функций 
и 
.
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13.