Тригонометрические подстановки

Часто в состав подынтегральных функций входят радикалы трёх видов: , и . В этих случаях применяются соответствующие так называемые «тригонометрические» подстановки:

1. Для - , соответственно.

Рассмотрим применение этой рекомендации на конкретном примере.

Пример 21.

Рецепт. Преобразуем подынтегральную функцию = и замещаем аргумент по одному из двух вариантов (см. выше), например, , тогда . В итоге = = = . Обратная постановка: , = и даёт конечный результат = = + .

2. Для - . Дальше следует решение примера на эту тему.

Пример 22. .

Рецепт. Здесь , поэтому применим вариант замены из двух предложенных выше, например, .

= = . Это уже знакомый интеграл (см. Пример 11), тогда +С. Нетрудно показать, что = = . После обратной подстановки = = .

Итак, имеем конечный результат: +С.

3. Для - . Решим соответствующий пример.

Пример 23. .

Рецепт. Здесь . Согласно рекомендациям выберем, например, вариант . Тогда искомый интеграл = = . Это интеграл, рассмотренный ранее, тогда промежуточное решение имеет вид: +С. Обратная подстановка даёт окончательное решение +С.

8. Интегралы с иррациональностью типа .

Рассмотрим один из вариантов таких интегралов на примере интеграла = ., где k, m, … – любые целые числа, =1,2,…, .

Алгоритм решения интегралов такого типа:

· необходимо найти целое число М – наименьшее общее кратное (НОК) чисел ;

· дроби заменить соответствующими им дробями где ─ целые числа;

· тогда знаменатель подынтегральной функции принимает вид ;

· теперь следует очевидная замена: = , отсюда = и = .

Далее, = , а этот интеграл решается по образцу Примера 9 или Примера 10

Пример 24. =

Рецепт. При сопоставлении данного примера с вышеприведённым получаем ( ):

· , , , , .

· НОК ( , ) = М=12;

· замена = , = , = ;

· ,

Интеграл преобразуется: = = = . Здесь полная аналогия Примера 9: = =12 - =

+С.

Таблица 2

Дополнительная таблица интегралов, полученных

в результате промежуточных расчётов

		Примечания
	или
	= +С

Образец решения расчётно-графической работы

Решение любого варианта РГР рассмотрим на примере «нулевого» варианта

Таблица 3

«Нулевой» вариант РГР

Номер задания	Интегралы
	1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. - решение данного интеграла сопроводить совмещённым графиком функций и