Интегрирование «по частям»

Идея этого метода основана на формуле производной произведения двух функций: [1] и применяется чаще всего тогда, когда подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения пары хотя бы одной из следующих функций: и их вариаций.

Итак, если подынтегральную функцию можно представить в виде произведения , то сочетание или можно принять за дифференциал или . Тогда решение интеграла получается по формуле:

Выбор функций-сомножителей определяется опытом самого решающего. Попытаемся показать это на конкретном примере.

Пример 7. .

Рецепт. Альтернатива выбора функций-сомножителей здесь небогатая: либо и , либо . Попробуем пойти первым путём

Вариант 1. . Повторно применяем этот же метод: и т.д. Очевидно, что этот путь - тупиковый: с каждым новым шагом показатель степени при аргументе растёт и не видно конца этим манипуляциям. Очевидна и причина такого тупика - неудачный первоначальный выбор функции .

Не следует думать, что есть люди, которые ни разу не совершали подобную ошибку, просто из этого надо сделать позитивный вывод: «на ошибках учатся».

А теперь пойдём альтернативным путём:

Вариант 2: . Тогда .

Интересной особенностью данного метода является решение «рекурсивных интегралов». Рассмотрим один из вариантов таких интегралов.

Пример 8. .

Рецепт. Применим метод «по частям»:

Сопоставив начало и конец этой цепочки, получаем решение .

5. Рациональные дроби

Известно [1], что дробь может называться «рациональной», если её числитель и знаменатель ─ целые числа. С этой точки зрения излагаемый дальше метод относится к интегралам вида: , где , а ─ полиномы порядка и , соответственно.

С точки зрения соотношения порядков полиномов возможны два варианта:

a) . В этом случае полином числителя «столбиком» делят на полином знаменателя, выделяя тем самым «целую» часть подынтегральной дроби и её «остаток». Тогда исходный интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов: , где

и ─ полиномы соответствующего порядка того же типа, что и исходные полиномы. Первый интеграл – сумма табличных интегралов. Ко второму интегралу применяют обычно метод «неопределённых коэффициентов», суть которого излагается дальше;

b) . Здесь сразу берётся интеграл указанным выше методом.