Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов

Вектор называется линейной комбинацией векторов , если найдутся действительные числа такие, что:

.

Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных.

Если ни один из векторов системы не представляется как линейная комбинация других, то система называется линейно независимой.

Линейная зависимость векторов в означает их коллинеарность (параллельность). Любая пара неколлинеарных векторов является линейно независимой.

Линейная зависимость трех векторов в означает их компланарность (принадлежность одной плоскости).

Теорема 1.Система векторов – линейно независима в тогда и только тогда, когда уравнение:

имеет только тривиальное решение, т.е. . Система линейно зависима тогда и только тогда, когда данное уравнение имеет не тривиальное решение, т.е. .

Теорема 2. (Критерий линейной зависимости (независимости) системы из двух векторов).

Два вектора и линейно зависимы (линейно независимы) тогда и только тогда, когда все их соответствующие координаты пропорциональны (непропорциональны).

Пример 1. Выяснить, являются ли линейно зависимыми векторы и .

Решение. Определим, пропорциональны ли координаты векторов:

– верно.

Следовательно, векторы и линейно зависимы. n

Теорема 3. (Критерий линейной зависимости (независимости) системы из векторов в пространстве ).

Системы векторов – линейно зависима (линейно независима) в тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю (отличен от нуля).

Пример 2. Определить, являются ли линейно зависимыми вектора

, и ?

Решение. Составим и вычислим определитель из координат векторов:

Т.к. , то векторы , и - линейно независимы. n

Теорема 4. Любые векторов линейно зависимы в пространстве .

Замечание. Остается рассмотреть ситуацию, когда количество векторов в системе больше двух, но меньше (например, три вектора в пространстве ). Итак, выясним линейную зависимость (независимость) системы в пространстве , где . Рассмотрим матрицу , составленную из координат этих векторов, и вычислим ее ранг. С учетом теоремы 5, делаем вывод: если , то система линейно независима, а если , то система - линейно зависима.

2.1.2. Базисы в пространствах .

Система векторов называется базисом пространства , если любой вектор может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы:

.

Числа называют коэффициентами разложения вектора по базису .

В пространстве примером базиса может служить система единичных ортов: . Данный базис принято называть естественным, т.к. коэффициентами разложения любого вектора по базису являются координаты этого вектора. Например, .

В пространстве естественный базис образует система векторов .

Теорема 5. Если система векторов образуют базис в , то она линейно независима.

Теорема 6. Любые линейно независимых векторов пространства образуют в нем базис.

Пример 3. (Образец решения задачи 3 из контрольной работы). Даны векторы , , . Определить образуют ли векторы , и базис в пространстве и если да, то разложить вектор по этому базису.

Решение. Составим определитель из векторов , и :

Т.к. , то система - линейно независима и по теореме 12 образует базис в пространстве . Значит, вектор может быть единственным образом представлен в виде:

с пока неизвестными коэффициентами Переходя от равенства векторов к равенству их соответствующих координат приходим к системе линейных уравнений:

,

откуда:

.

Решая эту систему, например, методом Крамера (сделайте это самостоятельно), получим: , . Следовательно,

.n