Часть 2. Векторная алгебра

2.1. Пространства

Обозначим через множество упорядоченных наборов по действительных чисел: , . Сами такие наборы называются - мерными векторами.

Рассмотрим -мерные векторы и . Два вектора и называются равными, если равны их соответствующие координаты: ,

Введем на множестве линейные операции.

Суммой двух векторов и называется вектор, координаты которого равны суммам соответствующих координат векторов и :

.

Произведением вектора на действительное число называется вектор, координаты которого равны произведению числа на соответствующие координаты вектора :

.

Линейные операции над векторами удовлетворяют свойствам:

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

где , - произвольные действительные числа, - нулевой вектор, – вектор, противоположный к вектору .

Множество , с введенными на нем линейными операциями, называется пространством .

Если линейные операции удовлетворяют указанным выше восьми свойствам, то соответствующее пространство называется линейным или векторным пространством. Таким образом, пространство является векторным пространством.

Заметим, что элементами некоторых пространств могут быть не только векторы, но и различные другие объекты. Так, например, линейным пространством является множество всех квадратных матриц одинакового размера (объясните почему!). Несложно показать, что линейным будет пространство всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа (проверьте выполнение свойств 1-8). В тоже время, множество всех многочленов фиксированной степени не является линейным пространством, т.к. сумма двух таких многочленов может оказаться многочленом более низкой степени.