Достаточное условие точки перегиба.

Если f ′′(x) при переходе через точку (x₀, f(x₀)) в направлении возрастания x меняет знак, то эта точка является точкой перегиба кривой y = f(x).

f(x₀)

x₀

x < x₀, f ′′(x) < 0, y = f(x) выпуклая.

x > x₀, f ′′(x) > 0, y = f(x) вогнутая.

Точка (x₀, f(x₀)) – точка перегиба.

Асимптоты кривой.

yy y

x x x

Асимптотой называется прямая, к которой кривая неограниченно приближается при удалении точки в бесконечность.

Наклонные асимптоты.

δ→0 при х→ ∞. Ищем уравнение асимптоты в виде
y = kx + b.

δ = y_A – y_K = kx + b – f(x) →0 при x→∞. Отсюда
f(x) = kx + b – δ. Найдем

δ = kx + b – f(x) → 0, т.е.

Если хотя бы один из пределов k или b не существует, то наклонных асимптот нет. Если k = 0, то имеем горизонтальную асимптоту.

Вертикальные асимптоты. Уравнение ищем в виде x = a,

Для рациональных функций – вертикальные асимптоты проходят в тех точках, которые обращают в нуль знаменатель.
Пример.

Формула Тейлора (1685 − 1731, Англия).

Рассмотрим функцию f(x), имеющую в точке x = a производные любого порядка. Возникает вопрос, нельзя ли эту функцию приближенно представить в виде многочлена по степеням x – a. Например, y = cos x.

y = 1

-3 3

√2 π /2

 

y = cos x

 

 

Построим многочлен P_n (x) такой, что

P_n(a) = f(a), P_n′(a) = f ′(a), ..., P_n⁽ⁿ⁾(a) = f ⁽ⁿ⁾(a) (*)

Пусть

P_n(x) = a₀ + a₁ (x – a) +a₂ (x - a)² + ...+ a_n (x – a)ⁿ. _.

Подберем коэффициенты этого многочлена так. чтобы удовлетворялись соотношения (*).

P_n′(x) = a₁ + 2a₂(x – a) +3a₃(x – a)² ... + n a_n(x – a)^{n – 1}, ,

P_n′′(x) = 2a₂ + 2∙3a₃ (x – a) + ... + n(n − 1) a_n (x – a)^{n – 2} ,

P_n′′′(x) = 2∙3a₃ + ... + n(n – 1)(n – 2) a_n(x – a)^{n – 3},

...........................................................................

P_n⁽ⁿ⁾(x) = n(n – 1)(n – 2)....(n – (n – 1))a_n,

P_n(a) = a₀ = f(a), a₀ = f(a),

P_n′(a) = a₁ = f ′(a), a₁ =

Обозначим f(x) – P_n(x) = R _n. Отсюда

f(x) = P_n(x) + R _n или

f(x) = + R _n (**)

Формула (**) называется формулой Тейлора. R _n – остаточный член формулы Тейлора. Можно показать, что

ξ – некоторое число между x и a. Остаточный член указывает на величину ошибки при замене функции f(x) многочленом Р_n (x) .

Формула Тейлора переходит в бесконечный ряд Тейлора.

Если a = 0, то

П р и м е р ы .

1. y = e ^x. y′ = y′′ = .... = y⁽ⁿ⁾ = e^x. y(0) = y′(0) = y^′′(0) =.... = y⁽ⁿ⁾(0) = 1. Отсюда