1. Если f′′(x) < 0 для всех 
, то кривая y = f(x) – выпуклая на этом интервале.
2. Если f′′(x) > 0 для всех 
то кривая y = f(x) – вогнутаяна этом интервале.
Доказательство.
Пусть f′′ (x) < 0, x Є (a, b). T
M0
f(x0) M1
x ξ 1 x0 ξ 2 ξ1 x b
Рассмотрим кривую y = f(x). В точке M0 (x0, f(x) ) проведем касательную
Y – f(x0) = f ′(x0) (x – x0 ).
Возьмем произвольное значение x Є (a, b) и рассмотрим разность ординат кривой и касательной при этом значении x .
Разности x – x0 и ξ 1 – x0 имеют одинаковые знаки. Поэтому,
yкр – y кас < 0, yкр < yкас .
Кривая y = f(x) выпуклая. Аналогично, для вогнутости.
