Если точка х = х0 является точкой экстремума функции f(x), то ее первая производная f′(x0) в этой точке либо равна нулю, либо не существует.
f′(x0) = 0 либо f′(x0) = ∞.
Это условие является необходимым, но не является достаточным (например, у = х3)
Первое достаточное условие существования экстремума.
Если при переходе х через значение х = х0 в положительном направлении производная f′(x) меняет знак, то точка х= х0 является точкой экстремума функции f(x). Этот экстремум – максимум, если производная меняет знак с (+) на (-), и минимум, если с (-) на (+).
Пустьf′(x) > 0 при x < x0 , и f′(x)< 0 при x > x0. Тогда, если
x ≤ x0 , функция возрастает и f(x) < f(x0 ). Если же x ≥ x0, то
функция убывает, и f(x0 )> f(x). Но это означает, что f(x0)
больше всех значений функции в соседних точках, т.е. х = х0
является точкой максимума. Аналогично для минимума.
Замечание. Максимум и минимум нельзя путать с наибольшим и наименьшим значением функции на замкнутом интервале.
y = f(x), x Є [a, b],
f(a) – наименьшее значение,
f(b) f(b) – наибольшее значение,
f(a) x = x1 – точка максимума,
a x1 x2 b 
x x = x2 – точка минимума.
