Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
y y
f(x1)
f(x1) f(x2) f(x2)
x1 x2 x x1 x2 x
x1 < x2, f(x1) < f(x2) x1 < x2, f(x1) > f(x2)
возрастающая функция, убывающая функция.
Признаки возрастания и убывания.
Если f′(x) > 0 для всех x, принадлежащих интервалу (a, b), то f(x) возрастает на этом интервале.
Если f′(x) < 0 всех x, принадлежащих интервалу (a, b), то f(x) убывает на этом интервале.
Доказательство. 
.
Причем x1< x2. По теореме Лагранжа имеем f(x2) – f(x1) = f′(ξ)(x2 – x1) > 0. Отсюда
f(x2) > f(x1) – функция возрастает на (a, b)
Аналогично для убывающей функции.
