Функции одной переменной

Раздел 6. Дифференциальное исчисление

Рассмотрим функцию , определенную на некотором множестве D и точку .

Придадим аргументу определенное приращение , т.е. переместимся по оси Ox вправо или влево от точки в точку . При этом считаем, что точка лежит в окрестности точки x , в которой функция определена.

Величина

называется приращением функции в точке .

Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то он называется производной функции в точке и обозначается

=

Это равенство можно записать короче:

=

Функция называется дифференцируемой в точке, если в этой точке для нее существует производная.

Для обозначения производной используют различные символы: или ; или .

Геометрический смысл производной: производная функции в точке представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке

где – угол наклона касательной к оси Ox.

Физический смысл производной: если материальная точка M движется неравномерно по пути, заданному функцией то мгновенная скорость движения в момент времени есть производная от пути S по времени t:

Таблица производных основных элементарных функций

1. Степенная функция: .

В частности:

; ; ;

2. Показательная функция:

, в частности .

3. Логарифмическая функция:

, в частности .

4. Тригонометрические функции:

5. Обратные тригонометрические функции:

6. Гиперболические функции:

Обобщенная таблица производных:

1) ,где ,

в частности

а) ,

б) ;

2) где ,

в частности

;

3) где ,

в частности

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14)

15) .