Фундаментальная система решений.

Линейным однородным дифференциальным уравнением n - го порядка называется уравнение вида

Свойство 1. Линейное однородное уравнение всегда имеет решение вида y ≡ 0 .

Доказательство. Проверяется подстановкой y = 0 в исходное уравнение.

Свойство 2.Если функции y₁ (x) и y₂ (x) – решения однородного уравнения , то функция тоже решение этого уравнения.

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

15. Нахождение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.

Дифференциальное уравнение вида

(1)

где , , f - известная функция, называется линейным дифференциальным уравнением n - го порядка с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение (1) называется однородным, в противном случае - неоднородным. К однородному уравнению, очевидно, применима теорема существования и единственности, причем интервалом определения решений этого уравнения будет вся действительная ось.

Если f - непрерывная функция, то общее решение уравнения (1) состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (1).

Чтобы решить однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами (1) надо составить характеристическое уравнение

(2)

и найти его корни . Каждому простому корню соответствует частое решение однородного уравнения (1), имеющее вид , а каждому корню кратности k - решения . Произвольная линейная комбинация всех частных решений является общим решением однородного уравнения (1), т.е.

где произвольные постоянные.